|
Уважаемые коллеги! Правда ли, что произвольное бесконечное множество можно разбить на пары (то есть на непересекающиеся двухэлементные подмножества)? [Боюсь, что решение зависит от аксиомы выбора.] задан 26 Авг '14 14:18 
VladD |
|
Вы здесь доказываете более сильный факт, а именно то, что бесконечное множество равномощно дизъюнктному объединению двух своих копий. Просто разбиение на пары - факт более слабый, так как там уже не требуется доказывать, что множество пар будет равномощно исходному. Стандартными теоретико-множественными средствами это всё доказывается просто (кстати, Вы используете верный, но неочевидный факт равномощности $%M$% и $%M^2$%). Однако если это делать без "ухищрений", то может потребоваться использование аксиомы выбора. Однако есть ряд работ, в которых без использования аксиомы выбора доказываются нетривиальные факты типа того, что если $%2\cdot A\sim2\cdot B$%, то $%A\sim B$%. Техника доказательства там весьма красивая, близкая к "олимпиадной" по своему характеру. отвечен 26 Авг '14 23:02 
falcao |
|
Сообразил. Для бесконечного множества $%M$% $$ |M| \leqslant |2 \cdot M| \leqslant |M^2| = |M|, $$ отсюда $%M$% биективно отображается на объединение двух копий $%M$%, значит, нужные части — образы каждой из копий при биекции (она же даёт искомое отображение одной части на другую). отвечен 26 Авг '14 17:31
VladD |