Уважаемые коллеги! Правда ли, что произвольное бесконечное множество можно разбить на пары (то есть на непересекающиеся двухэлементные подмножества)? [Боюсь, что решение зависит от аксиомы выбора.]

задан 26 Авг '14 14:18

изменен 28 Авг '14 18:11

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Вы здесь доказываете более сильный факт, а именно то, что бесконечное множество равномощно дизъюнктному объединению двух своих копий. Просто разбиение на пары - факт более слабый, так как там уже не требуется доказывать, что множество пар будет равномощно исходному.

Стандартными теоретико-множественными средствами это всё доказывается просто (кстати, Вы используете верный, но неочевидный факт равномощности $%M$% и $%M^2$%). Однако если это делать без "ухищрений", то может потребоваться использование аксиомы выбора. Однако есть ряд работ, в которых без использования аксиомы выбора доказываются нетривиальные факты типа того, что если $%2\cdot A\sim2\cdot B$%, то $%A\sim B$%. Техника доказательства там весьма красивая, близкая к "олимпиадной" по своему характеру.

ссылка

отвечен 26 Авг '14 23:02

изменен 28 Авг '14 18:12

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Сообразил.

Для бесконечного множества $%M$%

$$ |M| \leqslant |2 \cdot M| \leqslant |M^2| = |M|, $$ отсюда $%M$% биективно отображается на объединение двух копий $%M$%, значит, нужные части — образы каждой из копий при биекции (она же даёт искомое отображение одной части на другую).

ссылка

отвечен 26 Авг '14 17:31

изменен 26 Авг '14 17:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×164

задан
26 Авг '14 14:18

показан
417 раз

обновлен
26 Авг '14 23:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru