Даны многочлены:

$%P(x) = a_m x^m + a_{m-1}x^{m-1} + ... + a_0;$%

$%Q(x)=b_n x^n + b_{n-1}x^{n-1} + ... + b_0.$%

Причем их коэффициенты равны $%1$% или $%2014$%. Известно, что $%Q(x)$% делится на $%P(x)$%.

Доказать, что $%m+1$% - делитель числа $%n+1$%.

задан 26 Авг '14 23:45

изменен 5 Ноя '14 0:50

falcao's gravatar image


191k1632

Помогите, пожалуйста! Срочно.

(26 Авг '14 23:46) Алла71
10|600 символов нужно символов осталось
3

Если бы все коэффициенты были равны 1, то это достаточно лёгкий случай. Действительно, из условия, что $%x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1$% на $%x^m+x^{m-1}+\cdots+x+1$%, после домножения обоих многочленов на $%x-1$%, следует, что $%x^{n+1}-1$% делится на $%x^{m+1}-1$%. Далее легко показать, что остаток от деления первого многочлена на второй равен $%x^r-1$%, где $%r$% -- остаток от деления $%n+1$% на $%m+1$%. Чтобы имел место факт делимости многочленов, остаток для многочленов должен быть нулевым, откуда $%r=0$%, и $%n+1$% делится нацело на $%m+1$%.

К такому случаю сводится и исходная задача, если заметить, что число $%2014$% даёт в остатке $%1$% при делении на 3. Тогда, рассматривая коэффициенты многочленов по (простому) модулю 3, мы сводим всё у к случаю, рассмотренному выше.

ссылка

отвечен 27 Авг '14 16:42

@falcao, извинитие за оффтоп. Не могли бы Вы более детально разьяснить ход решения задачи (касается второго абзаца).
К сожалению, с такой теорией не знаком.
Буду очень благодарен за помощь.

(24 Сен '14 11:00) alalal

@alalal: на научном языке, это есть не что иное как рассмотрение многочленов над полем $%\mathbb Z_3$% из трёх элементов. Это всё изложено в учебниках по высшей алгебре. Другое дело, что знать эти вещи столь детально не обязательно: почти все сведения такого рода можно адаптировать к школьной программе. Суть в том, что рассматриваются числа 0, 1, 2. Их можно складывать, вычитать и умножать "по модулю 3", то есть беря остаток от деления на 3. Например, 2+2=1 в этой арифметике. Также можно осуществлять деление на ненулевые элементы, так как 2=-1. Все арифметические свойства при этом сохраняются.

(24 Сен '14 16:44) falcao

@falcao, задача будет интереснее, если число $%2014$% заменить на $%2013$% или на $%2015$%.

(5 Ноя '14 0:43) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: а что при этом изменится? Всегда найдётся какой-то подходящий простой делитель вместо тройки, а для нечётных чисел вообще можно рассуждать по модулю 2.

(5 Ноя '14 0:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×291

задан
26 Авг '14 23:45

показан
525 раз

обновлен
5 Ноя '14 0:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru