|
Даны многочлены: $%P(x) = a_m x^m + a_{m-1}x^{m-1} + ... + a_0;$% $%Q(x)=b_n x^n + b_{n-1}x^{n-1} + ... + b_0.$% Причем их коэффициенты равны $%1$% или $%2014$%. Известно, что $%Q(x)$% делится на $%P(x)$%. Доказать, что $%m+1$% - делитель числа $%n+1$%. задан 26 Авг '14 23:45 
Алла71 |
|
Если бы все коэффициенты были равны 1, то это достаточно лёгкий случай. Действительно, из условия, что $%x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1$% на $%x^m+x^{m-1}+\cdots+x+1$%, после домножения обоих многочленов на $%x-1$%, следует, что $%x^{n+1}-1$% делится на $%x^{m+1}-1$%. Далее легко показать, что остаток от деления первого многочлена на второй равен $%x^r-1$%, где $%r$% -- остаток от деления $%n+1$% на $%m+1$%. Чтобы имел место факт делимости многочленов, остаток для многочленов должен быть нулевым, откуда $%r=0$%, и $%n+1$% делится нацело на $%m+1$%. К такому случаю сводится и исходная задача, если заметить, что число $%2014$% даёт в остатке $%1$% при делении на 3. Тогда, рассматривая коэффициенты многочленов по (простому) модулю 3, мы сводим всё у к случаю, рассмотренному выше. отвечен 27 Авг '14 16:42 
falcao @falcao, извинитие за оффтоп. Не могли бы Вы более детально разьяснить ход решения задачи (касается второго абзаца).
(24 Сен '14 11:00)
alalal
@alalal: на научном языке, это есть не что иное как рассмотрение многочленов над полем $%\mathbb Z_3$% из трёх элементов. Это всё изложено в учебниках по высшей алгебре. Другое дело, что знать эти вещи столь детально не обязательно: почти все сведения такого рода можно адаптировать к школьной программе. Суть в том, что рассматриваются числа 0, 1, 2. Их можно складывать, вычитать и умножать "по модулю 3", то есть беря остаток от деления на 3. Например, 2+2=1 в этой арифметике. Также можно осуществлять деление на ненулевые элементы, так как 2=-1. Все арифметические свойства при этом сохраняются.
(24 Сен '14 16:44)
falcao
@falcao, задача будет интереснее, если число $%2014$% заменить на $%2013$% или на $%2015$%.
(5 Ноя '14 0:43)
EdwardTurJ
@EdwardTurJ: а что при этом изменится? Всегда найдётся какой-то подходящий простой делитель вместо тройки, а для нечётных чисел вообще можно рассуждать по модулю 2.
(5 Ноя '14 0:49)
falcao
|
Помогите, пожалуйста! Срочно.