|
50 случайных, независимых величин Х равномерно распределены на [0,2]. Найти вероятность: $$\\P\{\sum_{n=1}^{50}X_i^2 < 50\} $$ ---------------- Как я понимаю, тут нужно выполнить преобразование распределения от $$X_i -> X_i^2$$ Получается, величины в квадрате распределены по показательному закону (2-й степени). Значит, мат. ожидание и дисперсия равны 1/2 и 1/4 соответственно. (Не знаю, почему формула ниже не отображается. Пытаюсь исправить это.) $$\\P\{\sum_{n=1}^{50}X_i^2 < 50\} = Ф({50 - 50{1\over2}\over{\sqrt(50{1\over4})}}) - Ф(-\infty)$$ Также формула, но в более нормальном виде: P{∑n=1:50 < 50} = Ф((50−25)/√(50/4)) − Ф(−∞) Получается величина, близкая к единице, что не совпадает с тем, что подсказывает мне интуиция. Скажите, пожалуйста, где у меня ошибка (может, в интуиции?). задан 27 Авг '14 17:14 
Андрей Алексеев |
|
Для применения ЦПТ надо найти матожидание и дисперсию величины $%X^2$%. Плотность равномерного распределения на отрезке $%[a;b]$% равна $%\frac1{b-a}$% на этом отрезке и нулю вне его. Поэтому $%MX^2=\frac12\int_0^2x^2\,dx=\frac43$% и $%MX^4=\frac12\int_0^2x^4\,dx=\frac{16}5$%. Следовательно, $%DX^2=MX^4-(MX^2)^2=\frac{16}5-\frac{16}9=\frac{64}{45}$%. Согласно ЦПТ, величина $%Y=\frac{S_n-MS_n}{\sqrt{DS_n}}$% имеет распределение, близкое к стандартному нормальному при больших $%n$%. Полагая $%n=50$%, имеем $%MS_n=\frac{200}3$% и $%DS_n=\frac{640}9$%. Событие $%\{S_n < 50\}$% равносильно $%S_n-MS_n < -\frac{50}3$%; после деления на $%\sqrt{DS_n}$% получается $%Y < -\frac{25}{4\sqrt{10}}$%. По таблицам стандартного нормального распределения находим эту вероятность; она составляет около $%0,024$%. отвечен 27 Авг '14 23:54 
falcao |
Здесь, возможно, что-то не так с условием. Дело в том, что величины $%X_i^2$%, даже если они не независимы, принимают значения только из отрезка $%[0;1]$%, поэтому неравенство не будет выполнено только в случае, если $%X_1=\cdots=X_{50}=1$%, а вероятность такого события, очевидно, равна нулю. Поэтому из общих соображений понятно, что вероятность из условия задачи равна 1 (причём точно).
Содержательный вариант мог получиться при замене чисел -- например, если бы величин было 100 вместо 50.
@falcao, Простите, я ошибся. На отрезке [0;2]. Сейчас поправлю.
Для применимости ЦПТ нужно добавить ещё условие независимости величин.
@falcao, да они независимы. Я думал, что равномерное распределение рассматривается всегда как независимых величин.