50 случайных, независимых величин Х равномерно распределены на [0,2].

Найти вероятность: $$\\P\{\sum_{n=1}^{50}X_i^2 < 50\} $$ ----------------

Как я понимаю, тут нужно выполнить преобразование распределения от $$X_i -> X_i^2$$ Получается, величины в квадрате распределены по показательному закону (2-й степени). Значит, мат. ожидание и дисперсия равны 1/2 и 1/4 соответственно. (Не знаю, почему формула ниже не отображается. Пытаюсь исправить это.)

$$\\P\{\sum_{n=1}^{50}X_i^2 < 50\} = Ф({50 - 50{1\over2}\over{\sqrt(50{1\over4})}}) - Ф(-\infty)$$

Также формула, но в более нормальном виде: P{∑n=1:50 < 50} = Ф((50−25)/√(50/4)) − Ф(−∞)

Получается величина, близкая к единице, что не совпадает с тем, что подсказывает мне интуиция. Скажите, пожалуйста, где у меня ошибка (может, в интуиции?).

задан 27 Авг '14 17:14

изменен 28 Авг '14 22:58

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Здесь, возможно, что-то не так с условием. Дело в том, что величины $%X_i^2$%, даже если они не независимы, принимают значения только из отрезка $%[0;1]$%, поэтому неравенство не будет выполнено только в случае, если $%X_1=\cdots=X_{50}=1$%, а вероятность такого события, очевидно, равна нулю. Поэтому из общих соображений понятно, что вероятность из условия задачи равна 1 (причём точно).

Содержательный вариант мог получиться при замене чисел -- например, если бы величин было 100 вместо 50.

(27 Авг '14 17:22) falcao

@falcao, Простите, я ошибся. На отрезке [0;2]. Сейчас поправлю.

(27 Авг '14 17:25) Андрей Алексеев

Для применимости ЦПТ нужно добавить ещё условие независимости величин.

(27 Авг '14 17:36) falcao

@falcao, да они независимы. Я думал, что равномерное распределение рассматривается всегда как независимых величин.

(27 Авг '14 17:42) Андрей Алексеев
10|600 символов нужно символов осталось
0

Для применения ЦПТ надо найти матожидание и дисперсию величины $%X^2$%. Плотность равномерного распределения на отрезке $%[a;b]$% равна $%\frac1{b-a}$% на этом отрезке и нулю вне его. Поэтому $%MX^2=\frac12\int_0^2x^2\,dx=\frac43$% и $%MX^4=\frac12\int_0^2x^4\,dx=\frac{16}5$%. Следовательно, $%DX^2=MX^4-(MX^2)^2=\frac{16}5-\frac{16}9=\frac{64}{45}$%.

Согласно ЦПТ, величина $%Y=\frac{S_n-MS_n}{\sqrt{DS_n}}$% имеет распределение, близкое к стандартному нормальному при больших $%n$%. Полагая $%n=50$%, имеем $%MS_n=\frac{200}3$% и $%DS_n=\frac{640}9$%. Событие $%\{S_n < 50\}$% равносильно $%S_n-MS_n < -\frac{50}3$%; после деления на $%\sqrt{DS_n}$% получается $%Y < -\frac{25}{4\sqrt{10}}$%. По таблицам стандартного нормального распределения находим эту вероятность; она составляет около $%0,024$%.

ссылка

отвечен 27 Авг '14 23:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,819

задан
27 Авг '14 17:14

показан
314 раз

обновлен
27 Авг '14 23:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru