3
1

Хозяйка ждет гостей и приготовила большую кастрюлю компота. Но она наверняка не знает, сколько будет гостей: либо 3, либо 7, либо 11. Нужно изготовить красивый и элегантный черпак, которым можно будет по возможности поровну разделить напиток. Проще всего было бы взять черпак емкостью 1/231 от объема кастрюли ( ), но тогда придется разливать очень долго. Какого наибольшего объема может быть черпак, чтобы напиток можно было разлить приблизительно поровну? «Приблизительно» означает, что возможны отклонения до 5%, то есть если гостей будет трое, то каждому достанется напитка от 1/3 + 1/60 до 1/3 - 1/60, если семеро – от 1/7 + 1/140 до 1/7 - 1/140 от объема кастрюли, аналогично для 11 гостей.

задан 27 Авг '14 18:55

1

Задача с действующей олимпиады https://dl.dropboxusercontent.com/u/15765938/TYM/2014/TYM-2014-LYST_PROBLEMS.pdf

(25 Окт '14 21:28) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
2

Ответом здесь будет 1/77. Прежде всего, проверим, что это число подходит. Оно делится на 7 и на 11, то есть проверять имеет смысл только случай троих гостей. Если один получит 25/77 и двое по 26/77, то максимальное отклонение от среднего значения 1/3=77/231 составит 2/231, что меньше 1/60.

Теперь докажем, что этот объём черпака максимален. Чтобы всю кастрюлю можно было ровно разделить на порции, равные объёму черпака, необходимо, чтобы он имел вид $%1/n$% для некоторого $%n$%. Предположим, что $%n < 77$%. Тогда $%n$% не делится нацело либо на 7, либо на 11.

Рассмотрим первый случай, когда $%n=7q+r$% при $%0 < r < 7$%. При разделении общего объёма примерно поровну часть гостей получат $%q/n$%, а часть (в количестве $%r$%) получат по $%(q+1)/n$%. Найдём отклонение от среднего значения для обоих случаев. Это $%\frac17-\frac{q}n=\frac{r}{7n}\le\frac17\cdot\frac1{20}$%, откуда $%n\ge20r$%. Для тех, кто получил больше среднего, отклонение составит $%\frac{q+1}n-\frac17=\frac{7-r}{7n}\le\frac17\cdot\frac1{20}$%, откуда $%n\ge20(7-r)$%. Ясно, что хотя бы одно из чисел $%r$%, $%7-r$% не меньше 4, и тогда $%n\ge80$%. Значит, такой случай невозможен.

Во втором случае, если $%n=11q+r$% при $%0 < r < 11$%, аналогичное вычисление приводит к тем же неравенствам: $%n\ge20r$% и $%n\ge20(11-r)$%. Поскольку $%\max(r,11-r)\ge6$%, получается $%n\ge120$%.

ссылка

отвечен 18 Сен '14 22:17

10|600 символов нужно символов осталось
2

Я посмотрел задачу с учетом обсуждений @sliy и @falcao. Далее соображения.

Всего черпаков: $% X>0 $% (возможно не целое). Число гостей: $% k =3, 7, 11.$% Каждому в среднем: $% X/k $% черпаков. В серии полноценных (всем) разливов каждому достается: $% Int(X/k) $% черпаков. Выдано всего в полноценных разливах: $% k Int(X/k).$% Остаток на последний разлив: $% R=X-k Int(X/k).$%

Далее рассматриваются 2 варианта:

1.Абс. погрешности разлива $% d_k $% вычисляются по различию в порциях:

при $% R<1: d_k =R,$% при $% 1 \le R \le k-1 : d_k = 1, $% при $% R> k-1: d_k=1-R.$% Относительные погрешности: $%\epsilon_k = d_k k/X.$%

Задача: $% X \to min $% при $% \epsilon_k \le 0,05 $% Решение дает ответ: $%X=77.$%

2.Абс. погрешности разлива вычисляются по отношению к средней порции. Тогда:

Минимальная порция:

при $% R \le k-1: P_{min}=Int(X/k); $% при $% R> k-1: P_{min}=Int(X/k) +R-k+1. $%

Максимальная порция:

при $% R \ge 1: P_{max}=Int(X/k)+1; $% при $% R<1 : P_{max}=Int(X/k)+R. $%

Абс. погрешности: $% d_k= max \lbrace X/k- P_{min}, P_{max}-X/k \rbrace $%

Относительные погрешности вычисляются аналогично п. 1. Задача формулируется так же.

Решение дает ответ: $% X=76.617.$%

ссылка

отвечен 22 Сен '14 21:09

изменен 22 Сен '14 23:38

10|600 символов нужно символов осталось
1

Остался без внимания тот случай, когда одиннадцатый гость получит всего лишь 1/21, что намного меньше за разницу 1/11-1/220. Итог: задача решена неправильно.

ссылка

отвечен 18 Сен '14 19:25

изменен 26 Окт '14 16:17

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Да, а ведь и правда!

(18 Сен '14 21:57) falcao

@falcao 1/77 наверное не окончательный ответ так, как совсем необязательно (в задаче об не сказано) последний раз наливать полный черпак - остаток может оказаться и меньше. В таком случае обьем черпака может увеличиться. Что скажете, прав ли я?

(22 Сен '14 18:57) sliy

@sliy: я понимаю задачу так, что объём всей кастрюли должен быть распределён. Ведь если разрешить разливать только часть, оставляя какое угодно количество, то задача теряет смысл.

(22 Сен '14 19:41) falcao
1

@falcao Вы меня не совсем правильно поняли. Распределяется обьем всей кастрюли и для шести из семи, к примеру, гостей налили n полных черпаков, а седьмому полных n-1 и последний неполный. Таким образом будет распределен весь компот. И возможно в таком случае каждый полный черпак будет больше.

(22 Сен '14 20:34) sliy

@sliy: да, такая версия задачи представляет интерес. Мне она в голову не приходила. Надо будет над ней подумать.

(22 Сен '14 20:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Если взять $%\frac 1{21}$%, то (если гостей три) налив семь раз, получим $%\frac 7{21}=\frac 1{3}$%; если гостей семь, наливаем три раза, получим $%\frac 3{21}=\frac 1{7}$%; если гостей 11, наливаем два раза, имеем $%\frac 2{21}$%. Погрешность $%\frac 2{21}-\frac 1{11}=\frac 1{21\cdot 11}<\frac 1{220}$% удовлетворяет условию задачи (пять процентов от $%\frac1{11}$%).

ссылка

отвечен 27 Авг '14 19:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×479

задан
27 Авг '14 18:55

показан
1088 раз

обновлен
25 Окт '14 21:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru