1
1

Мне хочется понять и "умозрительно" ощущать логическую операцию импликации.

Видя посылку "идет дождь" и следствие "земля мокрая", то при ситуации

  • если НЕ идет дождь, но земля мокрая - в импликации это дает Истину. Почему?

Отчетливо понимаю, что мой вопрос не раз обсуждался в Интернете, к примеру, Импликация. Почему определяется именно так?, Парадокс импликации, или 1. Парадокс импликации, тем не менее мозг не может принять решение о том, как же к этому парадоксу относиться.

При обсуждении другого вопроса участник @falcao подтвердил мою догадку, что не следует связывать логическую операцию с тем, что принято считать в естественном языке. Но как иначе? Как тогда эту операцию воспринимать? Просто запомнить таблицу истинности? Тогда возникает мысль о том, что математика местами бесмысленный набор формул и утверждений.

задан 31 Авг '14 21:18

изменен 1 Сен '14 18:05

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Я буду обозначать импликацию в виде символа $%\to$%, хотя встречаются и другие обозначения. Выражение вида $%p\to q$% можно читать по-разному. Традиционным для математики оборотом является "если ... то ...". В этом смысле мы можем сказать "если $%p$%, то $%q$%". Иногда также говорят "из $%p$% следует $%q$%". Мне лично представляется наиболее подходящей передача смысла импликации следующим образом: "$%p$% влечёт $%q$%". При этом точнее передаётся один из оттенков смысла, а также получается такое преимущество, что символ логической связки произносится в виде одного слова -- подобно конъюнкции ("и") и дизъюнкции ("или").

Если говорить о концепции, в рамках которой возникает математическое определение импликации (задаваемое, например, при помощи таблиц истинности), то её можно попытаться сформулировать следующим образом. Говоря, что $%p$% влечёт $%q$%, мы имеем в виду, что истинность $%p$% гарантирует истинность $%q$%. Иными словами, во всех ситуациях, когда мы наблюдаем истинность положения $%p$%, мы можем с гарантией заключить, что $%q$% также истинно.

Важно подчеркнуть следующее: обычно мы в формулировках теорем имеем дело с некими условиями, которые могут выполняться или не выполняться. Например, возьмём геометрическое утверждение типа "диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам". Это значит, что если четырёхугольник $%ABCD$% является параллелограммом (высказывание $%p$%), то диагонали $%AC$% и $%BD$% этого четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам (высказывание $%q$%). Такую же структуру имеет подавляющее большинство теорем. При этом ясно, что высказывание $%p$% в разных ситуациях может как выполняться, так и не выполняться (например, $%ABCD$% может не оказаться параллелограммом). И если кто-то утверждает истинность импликации $%p\to q$%, то это, грубо говоря, означает, что он мысленно просмотрел или изучил все возможные ситуации, в которых $%p$% имеет место, и обнаружил, что во всех из них $%q$% также имеет место.

Из этого понимания сразу вытекает то определение импликации, которое принято в математике, и которое в наибольшей степени подходит для её нужд. Легко проанализировать, в каком случае импликация окажется ложной. Я просматриваю все случаи, когда верно $%p$%, и вдруг обнаруживаю, что $%q$% верно не всегда. Даже если оно нарушается хотя бы один раз, я этим нахожу контрпример, который опровергает истинность импликации: посылка $%p$% оказывается верной, а заключение $%q$% -- ложно. Это единственный случай, когда импликация не считается истинной.

Можно также привести какие-то соображения, "оправдывающие" тот принцип, что из ложного положения "следует" (в смысле импликации) что угодно -- хоть истина, хоть ложь. Есть такой классический пример, связываемый с именем Бертрана Рассела, известного английского логика. Когда его спросили, неужели верно утверждение "если $%2\times2=5$%, то вы -- римский папа", он ответил, что это, несомненно, так. В самом деле, если нам дано, что $%4=5$%, то мы вычитаем $%3$% из обеих частей равенства, приходя к выводу, что $%1=2$%. И тогда у нас имеется два человека -- Рассел и папа римский, но это одно и то же лицо, так как два и один -- это одно и то же! :)

Ещё проще из ложного суждения вывести истинное. "Правила игры" здесь таковы: мне дают ложное утверждение $%p$%, на которое разрешено опираться в рассуждении, и просят доказать (или вывести) некое истинное утверждение $%q$%. В этом случае можно просто взять и доказать само утверждение $%q$% обычным способом, что предполагается возможным в силу его истинности. При желании можно для "маскировки" немного запутать рассуждение, сделав вид, что утверждение $%p$% как-то было задействовано, хотя это не обязательно.

Добавление. Приходится писать здесь, так как место для комментариев уже исчерпано. Об истории понятия мне трудно что-то сказать, так как оно пришло из естественного языка -- подобно отрицанию ("не"), конъюнкции ("и"), дизъюнкции ("или") и так далее.

Теперь по поводу Вашего примера про маму с папой. На нём как раз хорошо можно пронаблюдать, почему импликация отличается от логического "и". Некто утверждает, что ЕСЛИ мама пришла, ТО папа тоже пришёл. Это условное суждение; в нём не содержится информации о том, что мама пришла. Просто человеку известно, что люди ушли вместе, и вернуться тоже должны вместе. Да, в какой то момент придут И мама, И папа. Но может быть так, что в момент произнесения суждения они ещё не вернулись. Выражается только та мысль, что мама не могла прийти одна, без папы. Это соответствует тому, что в истинной импликации вида $%p\to q$% наступление события $%p$% невозможно без наступления события $%q$%, то есть не может $%p$% оказаться истинным, а $%q$% ложным. Ровно это отражено в одной из строк таблицы истинности.

Совершенно справедливо то наблюдение, что если мама пришла, то пришли оба -- и мама, и папа. Как это выражается на формальном языке? Следующим образом: импликация $%p\to q$% равносильна импликации $%p\to(p\land q)$%. То есть конъюнкция действительно возникает, но в заключении импликации, а не сама по себе. Вторая формула равносильна первой, но она более сложно записывается. А высказывание $%p\land q$%, когда оба человека пришли, имеет заведомо другой смысл, так как мог не прийти никто.

Ещё у Вас был вопрос по поводу "гарантий". Имелось в виду, что когда импликация $%p\to q$% истинна, это означает, что истинность условия $%p$% гарантирует истинность условия $%q$%. Я это же сказал в более краткой форме "$%p$% гарантирует $%q$%". В Вашем примере: приход мамы гарантирует приход папы.

ссылка

отвечен 31 Авг '14 22:04

изменен 1 Сен '14 13:04

Могу добавить только, что импликацию я запомнила в свое время как правило, которое сформулировал наш преподаватель: "из истины следует истина, а из лжи - все, что угодно". Если считать это утверждение верным, то таблица для импликации так и получается.

(31 Авг '14 23:29) cartesius

@cartesius: конечно, это так и есть, но вопрос, как я понимаю, состоял в обосновании второго принципа. Как показывает опыт, он не для всех априори убедителен. В частности, может возникнуть вопрос, а зачем нужно сознательно допускать какие-то ложные предположения? Понятно, что специалистам ответ на такие вопросы известен, но для тех, кто находится в процессе изучения, имеет смысл все вещи этого уровня подробно проговорить и разобрать.

(31 Авг '14 23:41) falcao

Для меня фраза "из лжи следует все, что угодно" не допускает каких-либо сомнений в ее истинности (в "бытовом" смысле). То есть таблицу импликации следует понимать так: верно, что из лжи следует все, что угодно (как ложь, так и истина); верно, что из истины следует истина; и неверно, что из истины следует ложь.

(1 Сен '14 0:21) cartesius

@cartesius: она и для меня никакого сомнения не вызывает, но я говорил о тех, кто находится в процессе изучения этих вещей. О "парадоксах материальной импликации" написано довольно много всего. Здесь необходимо как минимум принятие "дологического" тезиса о правомерности рассуждений в невозможной ситуации.

(1 Сен '14 0:54) falcao

@falcao, Вы же не говорите о том, что математика противоречит здравому смыслу? Для обучающихся чему угодно нужно указать лишь правильную трактовку, если есть сомнения. И невозможной ситуации я здесь не вижу. Есть просто фразы. Иногда абсурдные... но которые нельзя назвать неверными. Тут еще психологический барьер: если фраза звучит абсурдно, то хочется сказать, что она неверна. У многих проблема именно в этом.

(1 Сен '14 1:04) cartesius

@cartesius: для меня математика в высшей степени согласуется со здравым смыслом, в чём нет никаких сомнений. Но возьмите любой парадокс (логический или другой). При абсолютной вере в то, что согласование со здравым смыслом возможно, требуются некоторые усилия для того, чтобы понять, почему это так. Они тем больше, чем более нетривиален рассматриваемый парадокс.

Что касается невозможных ситуаций, то мы в них всегда рассуждаем в случае принятия любого неверного предположения (типа того, что множество простых чисел конечно).

(1 Сен '14 2:13) falcao

@cartesius: Вам верно заметил @falcao: Словами "но вопрос, как я понимаю, состоял в обосновании второго принципа. Как показывает опыт, он не для всех априори убедителен" ясно сказано о трудности понимания этой импликации. Сейчас, читаю уже не 15-й раз это достаточно подробное пояснение, но пока понимания не наступает. Видимо надо сделать паузу и со свежей головой попробовать еще раз.

(1 Сен '14 2:17) sys_dev

@sys_dev: по поводу всего, что в тексте не до конца понятно, не полностью убедительно и т.п. можно задавать дополнительные вопросы. Если они будут ясно сформулированы, я на них охотно отвечу.

(1 Сен '14 2:23) falcao

@falcao: Попытался найти в интернете историю возникновения этой операции, но пока безрезультатно. Ведь человек не просто так вводит что-либо в свою практику, а для какой-либо цели, чтобы решить какую-либо задачу! Мне хочется узнать, какая была ситуация или проблема, которая повлияла на появление этой операции (логическая импликация)?

(1 Сен '14 11:28) sys_dev

@falcao: Из Вашего ответа: "Говоря, что p влечёт q, мы имеем в виду, что истинность p гарантирует истинность q". Как посылка может гарантию того, что следствие истинно? Оно лишь может давать рационализм проверки условия в следствии. Мне это видится так: "Если мама пришла, то и папа тоже". Из этого я вижу, что Если мамы дома нет еще, то проверять, что папа дома, не имеет смысла. Другими словами, для меня это Логическое И.

(1 Сен '14 12:08) sys_dev
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно ещё так рассудить. Меня вдохновила вот эта статья: http://www.ng.ru/news/571486.html (конкретно: цитата из Зорькина).

Верное условное суждение принимается на всякий случай, про «запас». Если посылка никогда не будет верна, то условное утверждение попросту никогда не будет задействовано. Формальный аналог: правило MP позволяет перейти к выводу из условного утверждения только тогда, когда верна посылка. Но суждение остаётся истинным даже и тогда, когда посылка неверна. Я, например, считаю, что в применении к данному случаю (митинги) цитата Зорькина просто не может быть задействована, отчего само решение не перестаёт быть, кажется, верным. Соразмерность – действительно критерий.

Есть единственный способ опровергнуть (неформально) условное суждение: показать, что вывод неверен, а посылка верна. Что тогда происходит? Между утверждением, введённым «про запас», и реальными фактами, соблюдаемыми независимо от суждения, обнаружено противоречие. Мы заранее сказали, что, мол, можно вот так перейти между фактами, сохраняя корректность наших утверждений, а на самом деле это не так. Если в наличной реальности ничего такого не наблюдается, то, согласитесь, и ограничивать возможности к построению таких вспомогательных «лесенок» для совершения выводов (от одного вывода – к другому) было бы глупо. Очень может быть, что это приводит к бестолковым специальным случаям и т. п.

Я уж не говорю, что в классической логике все наличные факты (в том числе составные, выраженные «связками») верны все одновременно, и если сейчас опровергающий пример для условного утверждения отсутствует, то никогда не появится и в дальнейшем, это исключено.

ссылка

отвечен 10 Фев 15:18

изменен 10 Фев 15:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×480
×311
×115
×22

задан
31 Авг '14 21:18

показан
1861 раз

обновлен
10 Фев 15:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru