математическая-логика - Как понять "умозрительно" логическую операцию "импликация"?

Я буду обозначать импликацию в виде символа $%\to$%, хотя встречаются и другие обозначения. Выражение вида $%p\to q$% можно читать по-разному. Традиционным для математики оборотом является "если ... то ...". В этом смысле мы можем сказать "если $%p$%, то $%q$%". Иногда также говорят "из $%p$% следует $%q$%". Мне лично представляется наиболее подходящей передача смысла импликации следующим образом: "$%p$% влечёт $%q$%". При этом точнее передаётся один из оттенков смысла, а также получается такое преимущество, что символ логической связки произносится в виде одного слова -- подобно конъюнкции ("и") и дизъюнкции ("или").

Если говорить о концепции, в рамках которой возникает математическое определение импликации (задаваемое, например, при помощи таблиц истинности), то её можно попытаться сформулировать следующим образом. Говоря, что $%p$% влечёт $%q$%, мы имеем в виду, что истинность $%p$% гарантирует истинность $%q$%. Иными словами, во всех ситуациях, когда мы наблюдаем истинность положения $%p$%, мы можем с гарантией заключить, что $%q$% также истинно.

Важно подчеркнуть следующее: обычно мы в формулировках теорем имеем дело с некими условиями, которые могут выполняться или не выполняться. Например, возьмём геометрическое утверждение типа "диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам". Это значит, что если четырёхугольник $%ABCD$% является параллелограммом (высказывание $%p$%), то диагонали $%AC$% и $%BD$% этого четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам (высказывание $%q$%). Такую же структуру имеет подавляющее большинство теорем. При этом ясно, что высказывание $%p$% в разных ситуациях может как выполняться, так и не выполняться (например, $%ABCD$% может не оказаться параллелограммом). И если кто-то утверждает истинность импликации $%p\to q$%, то это, грубо говоря, означает, что он мысленно просмотрел или изучил все возможные ситуации, в которых $%p$% имеет место, и обнаружил, что во всех из них $%q$% также имеет место.

Из этого понимания сразу вытекает то определение импликации, которое принято в математике, и которое в наибольшей степени подходит для её нужд. Легко проанализировать, в каком случае импликация окажется ложной. Я просматриваю все случаи, когда верно $%p$%, и вдруг обнаруживаю, что $%q$% верно не всегда. Даже если оно нарушается хотя бы один раз, я этим нахожу контрпример, который опровергает истинность импликации: посылка $%p$% оказывается верной, а заключение $%q$% -- ложно. Это единственный случай, когда импликация не считается истинной.

Можно также привести какие-то соображения, "оправдывающие" тот принцип, что из ложного положения "следует" (в смысле импликации) что угодно -- хоть истина, хоть ложь. Есть такой классический пример, связываемый с именем Бертрана Рассела, известного английского логика. Когда его спросили, неужели верно утверждение "если $%2\times2=5$%, то вы -- римский папа", он ответил, что это, несомненно, так. В самом деле, если нам дано, что $%4=5$%, то мы вычитаем $%3$% из обеих частей равенства, приходя к выводу, что $%1=2$%. И тогда у нас имеется два человека -- Рассел и папа римский, но это одно и то же лицо, так как два и один -- это одно и то же! :)

Ещё проще из ложного суждения вывести истинное. "Правила игры" здесь таковы: мне дают ложное утверждение $%p$%, на которое разрешено опираться в рассуждении, и просят доказать (или вывести) некое истинное утверждение $%q$%. В этом случае можно просто взять и доказать само утверждение $%q$% обычным способом, что предполагается возможным в силу его истинности. При желании можно для "маскировки" немного запутать рассуждение, сделав вид, что утверждение $%p$% как-то было задействовано, хотя это не обязательно.

Добавление. Приходится писать здесь, так как место для комментариев уже исчерпано. Об истории понятия мне трудно что-то сказать, так как оно пришло из естественного языка -- подобно отрицанию ("не"), конъюнкции ("и"), дизъюнкции ("или") и так далее.

Теперь по поводу Вашего примера про маму с папой. На нём как раз хорошо можно пронаблюдать, почему импликация отличается от логического "и". Некто утверждает, что ЕСЛИ мама пришла, ТО папа тоже пришёл. Это условное суждение; в нём не содержится информации о том, что мама пришла. Просто человеку известно, что люди ушли вместе, и вернуться тоже должны вместе. Да, в какой то момент придут И мама, И папа. Но может быть так, что в момент произнесения суждения они ещё не вернулись. Выражается только та мысль, что мама не могла прийти одна, без папы. Это соответствует тому, что в истинной импликации вида $%p\to q$% наступление события $%p$% невозможно без наступления события $%q$%, то есть не может $%p$% оказаться истинным, а $%q$% ложным. Ровно это отражено в одной из строк таблицы истинности.

Совершенно справедливо то наблюдение, что если мама пришла, то пришли оба -- и мама, и папа. Как это выражается на формальном языке? Следующим образом: импликация $%p\to q$% равносильна импликации $%p\to(p\land q)$%. То есть конъюнкция действительно возникает, но в заключении импликации, а не сама по себе. Вторая формула равносильна первой, но она более сложно записывается. А высказывание $%p\land q$%, когда оба человека пришли, имеет заведомо другой смысл, так как мог не прийти никто.

Ещё у Вас был вопрос по поводу "гарантий". Имелось в виду, что когда импликация $%p\to q$% истинна, это означает, что истинность условия $%p$% гарантирует истинность условия $%q$%. Я это же сказал в более краткой форме "$%p$% гарантирует $%q$%". В Вашем примере: приход мамы гарантирует приход папы.