|
$$\begin{array}{l} {\text{Верно ли}}{\text{, что для любой непрерывной непостоянной}}\\ {\text{дифференцируемой на интервале }}\left( {0;\infty } \right){\text{ функции}}{\text{,}}\\ {\text{обладающей свойством }}f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{x}} \right),{\text{ точка }}x = 1\\ {\text{является точкой экстремума?}}\\ {\text{Два примера таких функций: }}{f_n}\left( x \right) = {x^n} + \frac{1}{{{x^n}}};{\text{ }}{g_n}\left( x \right) = {\ln ^{2n}}\left( x \right).\\ {\text{Приведите ещё пример такой функции}}{\text{, так, чтобы эта}}\\ {\text{функция не была вида }}f\left( x \right)*f\left( {\frac{1}{x}} \right){\text{, где * - некоторое}}\\ {\text{арифметическое действие или композиция функций}}{\text{.}} \end{array}$$ задан 31 Авг '14 23:39 
Igore |
|
В общем случае верно только то, что производная в точке $%x=1$% равна нулю, что следует из формулы для производной сложной функции: $%f'(x)=(f(\frac1x))'=-\frac1{x^2}f'(\frac1x)$%, что при $%x=1$% превращается в $%f'(1)=-f'(1)$%, то есть $%f'(1)=0$%. Однако из равенства нулю производной ещё не следует наличие экстремума в этой точке. Например, функция $%g(t)$%, равная $%t^2\sin\frac1t$% при $%t\ne0$% и такая, что $%g(0)=0$%, непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой. Легко видеть, что она имеет нулевую производную в нуле, и при этом точка $%t=0$% не является ни точкой локального максимума, ни точкой локального минимума. В любой сколь угодно малой окрестности нуля, как правой, так и левой, функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, то есть колеблется в обе стороны относительно значения $%g(0)=0$%. Исходя из этой конструкции, нетрудно построить пример функции $%f(x)$%, удовлетворяющей условию, но не имеющей $%x=1$% в качестве точки экстремума. Достаточно положить $%f(x)=(x-1)^2\sin\frac1{x-1}$% при $%x > 1$% и $%f(x)=(\frac1x-1)^2\sin\frac{x}{1-x}$% при $%x < 1$%, а также положить $%f(1)=0$%. Все условия будут выполнены, но экстремума при этом не будет. Что касается других примеров функций, то можно взять любую дифференцируемую функцию $%h(x)$%, определённую при положительных $%x$%, и в качестве $%f(x)$% взять сумму $%h(x)+h(\frac1x)$%, произведение $%h(x)h(\frac1x)$%, или какую угодно функцию, "симметричную" относительно $%h(x)$% и $%h(\frac1x)$%. Например, $%f(x)=2^x+2^{1/x}+\cos x\cos\frac1x$%. Что касается примеров, выходящих за рамки определённой конструкции, то надо начать с того, чтобы её сначала описать. Пусть имеется произвольная функция $%h(x)$%, заданная при $%x > 0$%, а также функция $%G(a,b)$% от двух переменных, обладающая свойством $%G(a,b)=G(b,a)$%. Тогда функцию из условия можно задать формулой $%f(x)=G(h(x),h(\frac1x))$%, и все свойства будут выполнены при условии дифференцируемости используемых функций. За пределы таких примеров выйти, к сожалению, нельзя по следующей причине. Если мы положим $%G(a,b)=\frac{a+b}2$% и в качестве $%h(x)$% возьмём саму функцию $%f(x)$%, что не запрещено конструкцией, то будет выполняться тождество $%f(x)=G(h(x),h(\frac1x))$%, так как оно равносильно $%f(x)=\frac{f(x)+f(\frac1x)}2$%. Можно разве что прибегнуть к "маскировке", указав аналитическое выражение, в котором этот эффект не так заметен (типа степеней логарифма). Но само свойство будет всё равно выполняться. Например, можно взять любую чётную функцию от логарифма типа $%\cos\ln x$%. отвечен 1 Сен '14 0:06 
falcao Спасибо за ответ. А. Если честно, не понял, почему функция, построенная во втором абзаце, не имеет экстремума в точке x=1? Б. Хотелось бы пример такой функции, но не вида f(x)*f(1/x).
(1 Сен '14 0:24)
Igore
@Igorr: прошу прощения -- я указал немного не ту формулу, которая была нужна. Брать за основу надо не $%g(t)=t^2\sin t$%, как у меня было написано, а $%g(t)=t^2\sin\frac1t$% при $%t\ne0$% (где $%g(0)=0$%). Тогда при стремлении $%t$% к нулю график будет бесконечное число раз колебаться вокруг оси абсцисс. Что касается примера, выходящего за рамки определённых конструкций, то я сейчас добавлю об этом информацию, а также исправлю формулы.
(1 Сен '14 0:38)
falcao
А. Я правильно понял, что любая такая функция обязана иметь вид $%f\left( x \right) = G\left( {h\left( x \right),h\left( {\frac{1}{x}} \right)} \right) = G\left( {h\left( {\frac{1}{x}} \right),h\left( x \right)} \right)$%? Если так, то какова G для $%f\left( x \right) = {\ln ^2}x$%? Б. Функция, построенная во втором абзаце, дифференцируема в точке x=1?
(1 Сен '14 1:03)
Igore
@Igorr: да, правильно. Функцию $%G$% во всех случаях можно взять равной полусумме аргументов. В том числе и для квадрата логарифма, который равен полусумме функций $%\ln^2x$% и $%\ln^2\frac1x$%. Это почти тавтологичный факт. Функция $%g(t)$% дифференцируема в нуле, что легко вывести из определения. Отношение $%\frac{g(t)-g(0)}t$% равно $%t\sin\frac1t$%, и оно стремится к нулю. То же верно для функции $%f(x)$% вблизи единицы после деления на $%x-1$% с учётом того, что $%f(1)=0$%.
(1 Сен '14 2:19)
falcao
|
|
Во-первых, можно утверждать, что $%x=1$% - стационарная точка, т.к. $$f'(x)=-f'(1/x)/x^2$$ и при $%x=1$% мы имеем, что $%f'(1)=0$%. Во-вторых, если функция $%f$% на интервале $%(0;1)$% возрастала, то на интервале $%(1;+\infty)$% она будет убывать. И наоборот. Следовательно, если в окрестности точки $%x=1$% функция не локально постоянная, то $%x=1$% - точка экстремума. Примеры таких функций: $%h(x)+h(1/x)$% для любой непрерывной дифференцируемой функции $%h$%. Чтобы привести пример функции $%f$% такой, что $%f(x)=f(1/x)$% и $%x=1$% не является экстремумом, достаточно привести пример функции, постоянной в окрестности точки $%x=1$% и не постоянной на $%(0;+\infty)$%. отвечен 31 Авг '14 23:57 
cartesius |