Наибольшее значение функции

Ясно, что можно ограничиться случаем $%x > 0$%. Легко видеть, что наибольшее значение в какой-то точке должно достигаться. Формальное доказательство можно предложить такое. Рассмотрим какую-нибудь точку, в которой функция принимает заведомо положительное значение, равное $%a$%. В качестве такой точки можно взять $%x=\frac{\pi}2$%. Далее надо заметить, что $%f(x)$% стремится к нулю как при $%x\to0$%, так и при $%x\to\infty$%. Беря открытые окрестности нуля и бесконечности, для которых значение функции (по модулю) меньше $%a$%, мы получаем в середине между ними отрезок, на котором наша непрерывная функция принимает наибольшее значение. Оно при этом не меньше $%a$%, поэтому будет наибольшим и на всей области определения.

Производная функции в точке наибольшего значения равна нулю, откуда получается уравнение $%\cos x\sin\frac1x=\frac1{x^2}\sin x\cos\frac1x$%. Решений (при $%x > 0$%) у него много, среди которых содержится $%x=1$%. Остаётся проверить, что значение функции в этой точке, равное $%f(1)=\sin^21\approx0,708...$%, является наибольшим по сравнению со значениями в других критических точках.

С учётом того, что $%f(x)=f(\frac1x)$%, достаточно рассматривать только критические точки, обладающие свойством $%x > 1$%. Понятно, что при $%x\ge\frac{\pi}2$% имеет место двойное неравенство $%0 < \frac1x\le\frac2{\pi}$%. Синус на этом промежутке возрастает, откуда $%\sin\frac1x\le\sin\frac2{\pi} < \frac2{\pi} < \frac23 < \sin^21$%. Достаточно теперь показать, что на интервале $%x\in(1;\frac{\pi}2)$% критических точек нет, потому что производная там всюду отрицательна.

Нам нужно установить справедливость неравенства $%x^2\cos x\sin\frac1x < \sin x\cos\frac1x$% на интервале $%x\in(1;\frac{\pi}2)$%. Достаточно проверить, что функция из левой части убывает на данном интервале, а функция из правой части возрастает. Это можно сделать при помощи производной.

Легко видеть, что $%(\sin x\cos\frac1x)'=\cos x\cos\frac1x+\frac1{x^2}\sin x\sin\frac1x$%. Очевидно, что на рассматриваемом промежутке все функции, входящие в запись последнего из выражений, принимают только положительные значения.

Далее, $%(x^2\cos x\sin\frac1x)'=2x\cos x\sin\frac1x-x^2\sin x\sin\frac1x-\cos x\cos\frac1x$%. Чтобы убедиться в отрицательности производной на нашем промежутке, достаточно доказать соответствующее неравенство, которое после несложных преобразований и с учётом положительности выражений имеет вид $%2 < x\tan x+\frac1x\cot\frac1x$%. Поскольку при $%x=1$% имеет место равенство, достаточно проверить возрастание функции в правой части.

Для слагаемого $%x\tan x$% возрастание очевидно, а возрастание второго слагаемого равносильно убыванию функции $%t\cot t$% при $%t\in(\frac2{\pi};1)$%. Отрицательность производной равносильна неравенству $%\cot t < t(1+\cot^2t)$%. Последнее легко вытекает из того факта, что $%t > \frac12$%.

Скорее всего, тут можно как-то упростить доказательство, но я записал то, что получилось.