Арина записала в тетрадь двойное равенство, посля чого прочитала его вслух:

Ікс плюс ікс на ікс плюс ікс на ікс плюс ікс на ікс плюс ікс равно ікс плюс ікс на ікс плюс ікс на ікс плюс ікс равно ікс плюс ікс на ікс плюс ікс.

Приведите пример равенства, которое могла записать Арина, либо докажите, что девочка ошиблась.

задан 1 Сен '14 20:56

10|600 символов нужно символов осталось
4

Насколько я понимаю, это задача о расстановке скобок для получения верного тождества. Изначально договоримся, что скобки, не меняющие порядка действий, мы не ставим.

Правая часть выражения может принимать значения $%x+x\cdot x+x=x^2+2x$%, $%(x+x)\cdot x+x=2x^2+x$% или $%(x+x)\cdot (x+x)=4x^2$%. Остальные расстановки скобок дают один из этих трех многочленов.

Поскольку мы выяснили, что выражение - это многочлен степени не выше двух, то это ограничивает нас в выборе расстановки скобок в среднем выражении: $%x+x\cdot x+x\cdot x+x$%. Если крайние левый и правый иксы не заключены в скобки, то мы имеем $%2x^2+2x$% или многочлен третей степени, что не равно правой части. Если левый или правый икс входит в скобку, то мы имеем либо многочлен третей степени, либо $%(x+x)\cdot x+x\cdot x+x=3x^2+x$%, либо $%(x+x)\cdot( x+x)\cdot x+x=4x^2+x$%, что тоже не равно правой части. Тогда оба крайних икса заключены в скобки. При этом мы имеем либо многочлен третей степени, либо $%(x+x)\cdot x+x\cdot (x+x)=4x^2$%. Здесь мы не приводили расстановки скобок отличающихся, например, симметрией.

Из вышесказанного ясно, что если в тождестве нет ошибок, то это многочлен $%4x^2$%. Но тогда в левом выражении оба крайних икса должны быть в скобках. Чтобы получить многочлен степени два, по крайней мере должно быть выражение $%(x+x)\cdot x+x\cdot x +x\cdot(x+x)$%, к которому, возможно, нужно добавить еще скобки. Это выражение уже дает $%5x^2$%, а добавление еще каких-либо скобок (меняющих порядок действий) либо увеличит степень многочлена, либо увеличит коэффициент перед $%x^2$%. Таким образом мы делаем вывод, что тождество неверно.

ссылка

отвечен 2 Сен '14 20:58

изменен 2 Сен '14 21:00

10|600 символов нужно символов осталось
2

$$(x + x) \cdot (x + x) \cdot \left( {\frac{{x + x}}{{x + x}}} \right) = (x + x) \cdot x + x \cdot (x + x) = (x + x) \cdot (x + x),$$ $$\left( {x + \frac{x}{{x + x}}} \right) \cdot \left( {\frac{{x + x}}{{x + x}}} \right) = \frac{{(x + x) \cdot x + x}}{{x + x}} = x + \frac{x}{{x + x}}.$$

ссылка

отвечен 6 Ноя '14 1:46

изменен 6 Ноя '14 1:48

10|600 символов нужно символов осталось
1

Я слышал мнение автора этой задачи. Насколько я понял с его слов, то тут вся суть задачи в том, что именно подразумевать под словом "тождество". Автор считает, что ответ: "таких тождеств не существует". Автор имеет ввиду, что тождество будет "тождеством" только тогда, когда равенство выполняется для ВСЕХ действительных чисел. И если оно не выполняется, скажем в точке $%x=0$%, то это уже не тождество.

Иначе, равенство $$\sqrt {-4-x^2}=12$$ тоже можно назвать тождеством.

ссылка

отвечен 9 Июн '15 23:25

4

@Роман83: мне кажется, здесь как раз весь интерес задачи в том, что она не до конца сформулирована, то есть это скорее тип "головоломки" нежели чисто математической задачи. Суть в разных способах устного прочтения формул. Например, "шесть на семь" может значить как 6x7, так и 6/7, где слова "умножить" и "разделить" опустили.

Тождество не должно выполняться всюду -- скажем, $%\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$% принято считать тождеством. Ограничение обычно имеет вид "на всей области определения".

(9 Июн '15 23:35) falcao
2

можно ли считать тождеством $%\sqrt{-4-x^2}=\sqrt{-5-x^2}$%?

(10 Июн '15 0:08) Роман83
3

@Роман83: с чисто формальной точки зрения -- можно, так как для любого $%x$%, принадлежащего пустому множеству, верно любое заключение. Другое дело, что так обычно не делают, потому что принято рассматривать только "полезные" и "содержательные" тождества, а не какие попало.

(10 Июн '15 1:14) falcao
3

@Роман83: Это напоминает задачи, которые мне задавали ученики сельской школы (на преподавателя больше года меня не хватило).

Вопрос: сколько блох нужно поймать, чтоб набрать 1 кг?

Ответ: нельзя, потому, что блохи разбегутся.

(10 Июн '15 9:59) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×44

задан
1 Сен '14 20:56

показан
729 раз

обновлен
10 Июн '15 9:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru