$$\begin{array}{l} {\text{Пусть }}x > 0{\text{ и }}f\left( x \right) = {f_1}\left( x \right) = x + \frac{1}{x},{f_2}\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right),..., \\ {f_n}\left( x \right) = f\left( {{f_{n - 1}}\left( x \right)} \right). \\ {\text{А. Доказать}}{\text{, что }}\min {f_n}\left( x \right) = {f_n}\left( 1 \right){\text{ }}\forall n \in \mathbb{N}. \\ {\text{Б. Найти формулу для }}{f_n}\left( 1 \right). \\ \end{array} $$

задан 2 Сен '14 14:22

изменен 2 Сен '14 22:25

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Функция ограничена снизу ввиду $%f(x)=(\sqrt{x}-\frac1{\sqrt{x}})^2+2\ge2$%. Поскольку она непрерывна на области определения и стремится к бесконечности как при $%x\to0$%, так и при $%x\to\infty$%, можно рассмотреть отрезок, вне которого значения функции больше двух. Тогда на этом отрезке функция принимает наименьшее значение, и оно будет таковым для всей области определения.

Функция всюду дифференцируема, поэтому в точке экстремума (которая точно есть) производная равна нулю. Заметим, что $%f'(x)=1-\frac1{x^2}=0$% только при $%x=1$%. Для функций $%f_n$% при $%n > 1$% доказываем по индукции, что других критических точек нет. По формуле производной сложной функции, $%f_n(x)'=(f_{n-1}(f(x)))'=f_{n-1}'(f(x))\cdot f'(x)$%. Первый сомножитель, в силу предположения индукции, может обращаться в ноль только при $%f(x)=1$%, что не имеет места. Поэтому второй сомножитель равен нулю, и $%x=1$%. Таким образом, точкой наименьшего значения может быть только $%x=1$%, откуда следует вывод пункта а).

Что касается пункта б), то не совсем понятно, что понимается под формулой в данном случае. Можно утверждать, что $%f_n(x)=\frac{P_n(x)}{Q_n(x)}$%, где в числителе и знаменателе стоят многочлены. Они могут быть заданы рекуррентно: $%P_{n+1}(x)=P_n^2(x)+Q_n^2(x)$%; $%Q_{n+1}(x)=P_n(x)Q_n(x)$%. Начальные значения можно задать при $%n=0$% как $%P_0(x)=x$% и $%Q_0(x)=1$%.

При каждом $%n$% можно выписать вид соответствующей рациональной функции. Выражения для многочленов получаются при увеличении $%n$% всё более сложные, с не очень ясной закономерностью для коэффициентов. Надо отметить, что даже при $%x=1$% получается последовательность дробей, имеющая достаточно сложное поведение. Поэтому я не уверен, что здесь можно указать что-то принципиально лучшее.

ссылка

отвечен 2 Сен '14 18:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×504

задан
2 Сен '14 14:22

показан
276 раз

обновлен
2 Сен '14 18:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru