|
В равнобедренной трапеции с периметром 42 и высотой 12 диагональ делит тупой угол пополам. Найти основания трапеции. МОЙ РЕШЕНИЕ: треугольник OAD равен треугольнику OCB > основания равны > т.к. высота = 12, то 42 - 24 = 18, 18 : 2 = 9, основания трапеции равняются 9. задан 2 Сен '14 17:15 
Ekzo609 |
|
Пусть $%ABCD$% -- трапеция, где $%AB$% -- меньшее основание. Точку пересечения диагоналей обозначим через $%O$%. Угол при вершине $%A$% тупой, и по условию $%AC$% будет биссектрисой угла $%BAD$%. Угол $%DAC$% поэтому равен углу $%BAC$%, а последний равен углу $%DCA$% ввиду параллельности оснований трапеции. Таким образом, треугольник $%DAC$% равнобедренный, $%DA=DC$%. То есть в нашей трапеции большее основание равно боковой стороне. Положим $%x=BC=CD=DA$%, $%y=AB$%. Периметр равен $%3x+y=42$%. Опуская из точек $%A$%, $%B$% перпендикуляры $%AA'$%, $%BB'$% на большее основание $%CD$%, имеем $%A'B'=y$%, откуда $%DA'=CB'=(x-y)/2=(x-42+3x)/2=2x-21$%. Применяя теорему Пифагора к треугольнику $%ADA'$%, приходим к уравнению $%x^2=(2x-21)^2+12^2$% с учётом того, что $%AA'=12$% -- высота трапеции. Квадратное уравнение после упрощений приобретает вид $%x^2-28x+195=0$%, и его корнями являются числа $%13$% и $%15$%. Поскольку $%3x=42-y < 42$%, второе значение не походит. Отсюда $%x=13$% (большее основание) и $%y=3$% (меньшее основание). отвечен 2 Сен '14 17:42 
falcao |
Основания трапеции всегда имеют разные длины, то есть такого быть не может.