|
$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{(sin x)^2 (e^y-1) }{x^2+y^2}, & (x, y) \ne(0,0) \\ 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases} $$ Требуется исследовать функцию на непрерывность в точке (0,0). Подскажите, как это сделать? Нам показывали, как решать похожее задание с помощью формулы конечных приращений, но я это совсем не понял. Возможно ли в данном случае проверить просто по определению непрерывности (предел, переменные стремятся в (0,0)? Если нет, буду благодарен за объяснение, что тут надо делать. задан 2 Сен '14 17:56 
Jochen |
|
Выражение для функции можно представить в виде $%(\frac{\sin x}{x})^2\cdot\frac{e^y-1}y\cdot\frac{x^2y}{x^2+y^2}$%. Она будет непрерывной, если при стремлении $%(x,y)$% к $%(0,0)$% разными путями будет получаться значение функции в нуле, равное нулю. Поскольку первые два сомножителя стремятся к единице (это первый замечательный предел и производная экспоненты в нуле), всё сводится к аналогичному вопросу для функции $%\frac{x^2y}{x^2+y^2}$%. Она по модулю ограничена сверху величиной $%|y|$%, стремящейся к нулю, поэтому сама стремится к нулю. Значит, функция непрерывна в нуле. В других случаях могло быть по-иному. Например, для функции $%\frac{xy}{x^2+y^2}$% такого бы уже не получилось. Беря $%y=x$% и устремляя $%x$% к нулю, мы получили бы $%\frac12$%, а при $%y=-x$% получилась бы $%-\frac12$%. Такую функцию уже нельзя было бы доопределить в нуле по непрерывности. отвечен 2 Сен '14 18:40 
falcao Спасибо! Только еще уточнение: почему последняя дробь меньше модуля y?
(2 Сен '14 18:52)
Jochen
В силу того, что $%|\frac{x^2}{x^2+y^2}|=\frac{x^2}{x^2+y^2}\le1$%.
(2 Сен '14 18:55)
falcao
|