|
Найдите суммы: $$ 1) sin x + 1/2*sin(2x)+ ... + 1/(2^n)sin(nx);$$ $$2)1+2cos x + 3cos(2x) + ... + (n+1)cos(nx).$$ Заранее большое спасибо! задан 2 Сен '14 20:15 
DiNaMir |
|
Нужно воспользоваться тем, что $%e^{it}=\cos t+i\sin t$%. В первом пункте функция является мнимой частью для $%e^{ix}+\frac12e^{2ix}+\cdots+\frac1{2^{n-1}}e^{inx}$% (последнее слагаемое я подправил в соответствии с закономерностью, заданной в начале). Положим $%z=e^{ix}$%; тогда сумма превращается в $%z+\frac12z^2+\cdots+\frac1{2^{n-1}}z^{n}$%. Это не что иное как $%z$%, умноженную на сумму членов геометрической прогрессии $%1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}$%, где $%q=z/2$%. Сумма при этом равна $%\frac{1-q^n}{1-q}$%, и далее надо умножить её на $%z$%, после чего выделить мнимую часть получившегося выражения. Последнее потребует некоторых вычислений. Во втором пункте имеется действительная часть для $%1+2z+3z^2+\cdots+(n+1)z^n$%. Это не что иное как производная функции $%z+z^2+\cdots+z^{n+1}$%. Это снова геометрическая прогрессия, которую надо просуммировать, затем продифференцировать, после чего найти действительную часть получившегося комплексного числа. отвечен 2 Сен '14 22:37 
falcao |
@DiNaMir, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.