Найдите суммы:

$$ 1) sin x + 1/2*sin(2x)+ ... + 1/(2^n)sin(nx);$$ $$2)1+2cos x + 3cos(2x) + ... + (n+1)cos(nx).$$

Заранее большое спасибо!

задан 2 Сен '14 20:15

изменен 2 Сен '14 23:39

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@DiNaMir, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(2 Сен '14 23:39) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
0

Нужно воспользоваться тем, что $%e^{it}=\cos t+i\sin t$%.

В первом пункте функция является мнимой частью для $%e^{ix}+\frac12e^{2ix}+\cdots+\frac1{2^{n-1}}e^{inx}$% (последнее слагаемое я подправил в соответствии с закономерностью, заданной в начале). Положим $%z=e^{ix}$%; тогда сумма превращается в $%z+\frac12z^2+\cdots+\frac1{2^{n-1}}z^{n}$%. Это не что иное как $%z$%, умноженную на сумму членов геометрической прогрессии $%1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}$%, где $%q=z/2$%. Сумма при этом равна $%\frac{1-q^n}{1-q}$%, и далее надо умножить её на $%z$%, после чего выделить мнимую часть получившегося выражения. Последнее потребует некоторых вычислений.

Во втором пункте имеется действительная часть для $%1+2z+3z^2+\cdots+(n+1)z^n$%. Это не что иное как производная функции $%z+z^2+\cdots+z^{n+1}$%. Это снова геометрическая прогрессия, которую надо просуммировать, затем продифференцировать, после чего найти действительную часть получившегося комплексного числа.

ссылка

отвечен 2 Сен '14 22:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×379

задан
2 Сен '14 20:15

показан
235 раз

обновлен
2 Сен '14 23:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru