$$(x+(1/x))^x$$

задан 2 Сен '14 21:25

изменен 2 Сен '14 23:42

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@АльбинаТФ, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(2 Сен '14 23:43) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$\begin{array}{l} {\text{Основание степени }}x + \frac{1}{x}{\text{ должно быть положительным}} \Rightarrow x > 0.\\ y' = {\left( {{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^x}} \right)^\prime } = {\left( {{e^{x\ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}} \right)^\prime } = \left( {\ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right) + \frac{{x\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{x + \frac{1}{x}}}} \right){e^{x\ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right)}} > 0\\ \Rightarrow {\text{функция возрастает}}{\text{.}}\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^x} = 1;{\text{ }}f\left( 1 \right) = 2. \end{array}$$alt text $$\begin{array}{l} y' = \left( {\ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 1 - \frac{2}{{{x^2} + 1}}} \right){e^{x\ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}\\ {\text{Нужно показать}}{\text{, что g}}\left( x \right) = \ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 1 - \frac{2}{{{x^2} + 1}} > 0.\\ {\text{При }}x \ge 1{\text{ это очевидно}}{\text{. Пусть }}x \in \left( {0;1} \right).\\ \ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 1 - \frac{2}{{{x^2} + 1}} > 0 \Leftrightarrow \ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right) > \frac{2}{{{x^2} + 1}} - 1\\ {\text{Понятно}}{\text{, что при }}x \in \left( {0;1} \right){\text{ имеем }}\ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right) > \ln \frac{1}{x} = - \ln x.\\ {\text{Поэтому достаточно показать}}{\text{, что}}\\ - \ln x > \frac{2}{{{x^2} + 1}} - 1 \Leftrightarrow \frac{2}{{{x^2} + 1}} + \ln x < 1\\ h\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} + 1}} + \ln x\\ h'\left( x \right) = - \frac{{4x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{x} = \frac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} > 0{\text{ при }}x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow h\left( x \right){\text{ возрастает}}{\text{,}}\\ {\text{но }}h\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow h\left( x \right) < 1{\text{ при }}x \in \left( {0;1} \right). \end{array}$$

ссылка

отвечен 2 Сен '14 21:49

изменен 3 Сен '14 12:19

@Igorr: а как доказать, что производная положительна? Мне кажется, это достаточно нетривиальная задача для данного случая. При $%x\ge1$% это ясно, что вот при $%x\in(0;1)$% требуется какое-то исследование.

(2 Сен '14 22:49) falcao

дописал //

(3 Сен '14 0:35) Igore

@Igorr: хорошее доказательство, на мой взгляд. Надо только опечатку исправить -- в знаменателе дроби $%x^2+1$% должно быть в квадрате.

Если исследовать дальше, то есть находить вторую производную, то там довольно сложные выражения получаются, и я этого не делал. Точка, в которой вторая производная обращается в ноль, там, похоже, может быть найдена только приближённо. Не знаю, имелось ли в виду в задании это всё учитывать.

(3 Сен '14 1:52) falcao

@falcao: $%\begin{array}{l} {\text{Исправил}}{\text{, спасибо}}{\text{.}}\ {\text{Да}}{\text{,}} \end{array}$% $$f''\left( x \right) = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^x}\left( {\ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right) + \frac{{{x^5} + {x^4} + 4{x^4} - x - 1}}{{x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)$$ $%\begin{array}{l} {\text{и как искать в явном виде положительный корень}}\ {\text{такой функции неясно}}{\text{, трансцендентное уравнение}}{\text{.}} \end{array}$%

(3 Сен '14 12:44) Igore

@Igorr: да, мне тоже показалось, что нуль второй производной какой-то нехороший. Но в принципе можно было бы попробовать показать, что $%f''(x)$% имеет знак минус до этого корня и знак плюс после него. Я счёл это технически сложным, поэтому даже не пытался.

(8 Сен '14 21:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×154

задан
2 Сен '14 21:25

показан
648 раз

обновлен
8 Сен '14 21:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru