график-функции - Исследование функции и построение графика

$$\begin{array}{l} {\text{Основание степени }}x + \frac{1}{x}{\text{ должно быть положительным}} \Rightarrow x > 0.\\ y' = {\left( {{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^x}} \right)^\prime } = {\left( {{e^{x\ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}} \right)^\prime } = \left( {\ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right) + \frac{{x\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{x + \frac{1}{x}}}} \right){e^{x\ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right)}} > 0\\ \Rightarrow {\text{функция возрастает}}{\text{.}}\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^x} = 1;{\text{ }}f\left( 1 \right) = 2. \end{array}$$ $$\begin{array}{l} y' = \left( {\ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 1 - \frac{2}{{{x^2} + 1}}} \right){e^{x\ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}\\ {\text{Нужно показать}}{\text{, что g}}\left( x \right) = \ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 1 - \frac{2}{{{x^2} + 1}} > 0.\\ {\text{При }}x \ge 1{\text{ это очевидно}}{\text{. Пусть }}x \in \left( {0;1} \right).\\ \ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 1 - \frac{2}{{{x^2} + 1}} > 0 \Leftrightarrow \ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right) > \frac{2}{{{x^2} + 1}} - 1\\ {\text{Понятно}}{\text{, что при }}x \in \left( {0;1} \right){\text{ имеем }}\ln \left( {x + \frac{1}{x}} \right) > \ln \frac{1}{x} = - \ln x.\\ {\text{Поэтому достаточно показать}}{\text{, что}}\\ - \ln x > \frac{2}{{{x^2} + 1}} - 1 \Leftrightarrow \frac{2}{{{x^2} + 1}} + \ln x < 1\\ h\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} + 1}} + \ln x\\ h'\left( x \right) = - \frac{{4x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{x} = \frac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} > 0{\text{ при }}x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow h\left( x \right){\text{ возрастает}}{\text{,}}\\ {\text{но }}h\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow h\left( x \right) < 1{\text{ при }}x \in \left( {0;1} \right). \end{array}$$