математика - Порядок действий в математике

Все эти вещи представляют собой принятые соглашения. Они удобны тем, что позволяют избежать использования лишних скобок. Проще писать $%a\cdot b+c$%, а не $%(a\cdot b)+c$%.

В принципе, могли договориться делать наоборот, но здесь действует правило, согласно которому, в общем и целом, более "сложные" операции имеют более высокий приоритет. Умножение определяется через сложение, а возведение в степень -- через умножение. Поэтому в выражении $%ab^2$% сначала $%b$% возводится в квадрат, а потом уже $%a$% на него умножается.

Деление и умножение чаще всего имеют одинаковый приоритет, и выполняются в порядке следования. В этом смысле $%6/2\times3$% следует считать равным $%9$%. То же относится к $%6:2\times3$%. Выражения $%a/b$% и $%a:b$% суть одно и то же, это просто разные обозначения операции деления. Подобно тому, как можно писать $%a\times b$%, а можно $%a\cdot b$% или даже просто $%ab$%.

Дробь как понятие -- это математическое выражение, а деление -- это математическое действие или операция. То есть это разные вещи. Конечно, связь между ними есть, потому что результат операции деления можно представить в виде дроби: $%3:2=\frac32$%.

Что касается операций умножения и деления, то я бы ставил в таких случаях дополнительные скобки, чтобы не возникало недоразумений. То есть писал бы $%6/(2\cdot3)$%, если мы делим на произведение. Здесь скобки обязательны. И в выражении $%(6:2)\cdot3$% я бы скобки на всякий случай тоже добавил.

Вообще, некоторые из соглашений являются общепринятыми, а какие-то могут варьироваться.