Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями:

$$z^2 = 4-y;$$ $$x^2 + y^2 = 4y.$$

Данное тело и его проекцию на плоскость xOy изобразить на чертежах.

задан 4 Сен '14 20:42

изменен 5 Сен '14 0:14

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@Добрый друг, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(5 Сен '14 11:31) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
0

На плоскости $%Oxy$% второе уравнение задаёт окружность радиуса 2 с центром в точке $%(0;2)$%. Оно может быть переписано в виде $%x^2+(y-2)^2=4$%. В пространстве оно же задаёт прямой круговой цилиндр.

Уравнение $%z^2=4-y$% в плоскости $%Oyz$% задаёт параболу. Поскольку уравнение не зависит от $%x$%, эту параболу мысленно проносим вдоль оси $%Ox$%, и получается параболический цилиндр. Он вырезает из кругового цилиндра некую часть, ограниченную сверху и снизу криволинейными поверхностями. Объём полученного тела и надо найти.

Тройной интеграл $%\iiint_DdV$% после расстановки пределов интегрирования превращается в двойной интеграл по кругу в плоскости $%Oxy$% от разности функций $%z_2(y)=\sqrt{4-y}$% и $%z_1(y)=-\sqrt{4-y}$% (это уравнения верхней и нижней границы тела). То есть это интеграл $%2\iint_S\sqrt{4-y}\,dx\,dy$% по кругу. Его также надо свести к повторному. Легко видеть, что $%y$% меняется в пределах от $%0$% до $%4$%, и при фиксированном $%y$% в пределах этого круга переменная $%x$% изменяется от $%-\sqrt{4y-y^2}$% до $%\sqrt{4y-y^2}$%. Следовательно, объём тела равен $$2\int\limits_{0}^{4}\sqrt{4-y}\,dy\int\limits_{-\sqrt{4y-y^2}}^{\sqrt{4y-y^2}}dx=4\int\limits_0^4\sqrt{4-y}\sqrt{y(4-y)}dy=4\int\limits_0^4(4-y)\sqrt{y}\,dy.$$ Этот интеграл посредством замены вида $%t=\sqrt{y}$% сводится к интегралу от многочлена и легко вычисляется. В ответе, если не ошибаюсь, будет $%\frac{512}{15}$%.

ссылка

отвечен 5 Сен '14 2:49

Пожалуйста, нарисуйте данное тело и его проекцию на плоскость. Никак не могу разобраться, как это сделать. Буду очень признательна!

(26 Ноя '14 22:57) Добрый друг

@Добрый друг: я не умею делать рисунки в электронном виде и вставлять их в текст. Попробуйте нарисовать его по описанию (см. второй абзац). Сначала надо нарисовать круговой цилиндр, а потом обрезать его сверху и снизу. Рисовать это всё можно на приблизительном уровне. С моей точки зрения, чертёж для решения этой задачи вообще не нужен.

(26 Ноя '14 23:01) falcao

А нарисовать, сфотографировать и вставить изображение нельзя? Пожалуйста)

(27 Ноя '14 0:31) Добрый друг

@Добрый друг: это чисто техническая и хлопотная работа. Я таких вещей, к сожалению, не делаю. У меня на это ушло бы часа три :)

(27 Ноя '14 0:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×159

задан
4 Сен '14 20:42

показан
1271 раз

обновлен
27 Ноя '14 0:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru