математический-анализ - Два задания на мат. индукцию

Я вчера давал на форуме ссылку на хорошее популярное изложение метода. Он очень часто используется в рассуждениях, поэтому имеет смысл изучить в деталях.

Сам метод очень прост. Идея такая: допустим, есть очередь, и надо доказать, что в ней стоят только женщины. Тогда достаточно убедиться в справедливости двух фактов:

1) Первой в очереди стоит женщина. 2) За каждой женщиной стоит женщина.

Проиллюстрирую на примере доказательства неравенства $%2^n > n^3$%. Оно верно не для всех $%n$%, а только при $%n\ge10$% (и также при отдельном значении $%n=1$%, что в данном случае не играет роли).

Сначала проверяем, что неравенство верно при $%n=10$%. Подставляем, получается $%2^{10} > 10^3$%, то есть $%1024 > 1000$%. Это верно.

Далее пусть $%n=k\ge10$% -- такое число, для которого мы уже умеем доказывать неравенство. Тогда мы знаем, что $%2^k > k^3$% и можем на это опираться как на истинный факт. Тогда достаточно убедиться, что неравенство верно для следующего значения $%n$%, равного $%k+1$%. То есть задача такова: нам дано, что $%2^k > k^3$% при каком-то $%k\ge10$%; требуется доказать, что $%2^{k+1} > (k+1)^3$%.

Поскольку $%2^{k+1}=2\cdot2^k > 2k^3$%, нам достаточно проверить, что $%2k^3\ge(k+1)^3$%, то есть $%k^3\ge3k^2+3k+1$%. Поскольку $%k\ge10$%, верно неравенство $%k^3\ge10k^2$%, и тогда достаточно доказать, что $%10k^2\ge3k^2+3k+1$%, то есть $%7k^2\ge3k+1$%. Но последнее очевидно для всех $%k\ge1$%.

Первый из примеров решается аналогичным способом. Надо только иметь в виду, что при $%n=1$% строгие неравенства становятся равенствами, то есть начать надо с $%n=2$%.