Решить уравнение: $$1/1+х = x^3.$$

Я не понимаю, как это решить, потому что не могу разложить этот многочлен. Я думаю, что уравнение не имеет корней. Помогите, пожалуйста.

задан 5 Сен '14 22:03

изменен 6 Сен '14 23:04

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Я так понял, имеется в виду уравнение $$\frac1{1+x}=x^3$$

Корни у него есть, и это легко доказать. Если $%f(x)=x^4+x^3-1$%, то $%f(-2) > 0$%, $%f(-1) < 0$%. Значит, есть по меньшей мере один корень между этими значениями. Тем же способом проверяется, что есть корень между $%0$% и $%1$%. Можно доказать, что действительных корней ровно два.

Обычно корни уравнений такого вида находятся с заданной точностью численными методами. Выражение в радикалах существует, но оно крайне громоздкое и на практике совершенно бесполезно.

Иногда, правда, бывает, что корни такого рода уравнений удачно выражаются через что-нибудь тригонометрическое, но такое случается редко, и здесь подобного пути не видно.

ссылка

отвечен 5 Сен '14 22:28

В общем виде к любому многочлену можно применить метод Штурма, излагаемый в учебниках высшей алгебры. После этого мы узнаем количество действительных корней. Для данного конкретного уравнения можно поступить более просто. Производная имеет вид $%4x^3+3x^2$%, обращаясь в ноль в точках $%x=0$% и $%x=-3/4$%. Отсюда становятся известны промежутки возрастания и убывания. Имеет место возрастание при $%x > -3/4$% и убывание при $%x < -3/4$% (в нуле экстремума нет). На монотонном участке функция обращается в ноль не более одного раза. Поэтому корней не более двух. С учётом сказанного выше, ровно два.

(5 Сен '14 22:54) falcao

А что такое производная?)

(5 Сен '14 23:00) NastyaNastya

Я видимо эту тему не учила. В каком классе она изучается?

(5 Сен '14 23:02) NastyaNastya

Наверное, в 10-м классе. Вообще-то для исследования функций это одно из самых основных средств. Её смысл -- скорость изменения функции.

(5 Сен '14 23:04) falcao

Понятно, вроде ни одного урока не пропустила, но чтобы производная - не помню. Ещё один вопрос: вот Вы взяли значения икса: -1,-2,0 и 1, а почему именно эти, а не какие либо другие?

(5 Сен '14 23:10) NastyaNastya

Другие значения брать не имело смысла, так как если $%x$% достаточно большое по модулю, то значение многочлена будет очень большое за счёт величины $%x^4$%. В частности, оно положительно, и корней в "далёких" точках заведомо не будет. Надо было указать точки, где значения функции имеют разные знаки -- тогда между ними есть корень. Это делалось подбором, который в данном случае совсем простой.

Вообще, здесь можно было бы всё сделать и без обращения к понятию производной. Но оно как средство весьма стандартно. Это всё есть в школьных учебниках.

(5 Сен '14 23:19) falcao

Спасибо, открыла учебник по алгебре за 11 класс, эта тема первая идёт, я пока её не изучала, мы с классом тригонометрию ещё повторяем.

(5 Сен '14 23:42) NastyaNastya

Сейчас единой программы нет, и в разных учебниках может быть по-разному. Когда я учился в школе, у нас это было в учебнике "Алгебра и начала анализа" за 9-й класс, но тогда в школах была десятилетка.

(5 Сен '14 23:51) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,074
×787
×291

задан
5 Сен '14 22:03

показан
504 раза

обновлен
5 Сен '14 23:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru