|
Решить уравнение: $$1/1+х = x^3.$$ Я не понимаю, как это решить, потому что не могу разложить этот многочлен. Я думаю, что уравнение не имеет корней. Помогите, пожалуйста. задан 5 Сен '14 22:03 
NastyaNastya |
|
Я так понял, имеется в виду уравнение $$\frac1{1+x}=x^3$$ Корни у него есть, и это легко доказать. Если $%f(x)=x^4+x^3-1$%, то $%f(-2) > 0$%, $%f(-1) < 0$%. Значит, есть по меньшей мере один корень между этими значениями. Тем же способом проверяется, что есть корень между $%0$% и $%1$%. Можно доказать, что действительных корней ровно два. Обычно корни уравнений такого вида находятся с заданной точностью численными методами. Выражение в радикалах существует, но оно крайне громоздкое и на практике совершенно бесполезно. Иногда, правда, бывает, что корни такого рода уравнений удачно выражаются через что-нибудь тригонометрическое, но такое случается редко, и здесь подобного пути не видно. отвечен 5 Сен '14 22:28 
falcao В общем виде к любому многочлену можно применить метод Штурма, излагаемый в учебниках высшей алгебры. После этого мы узнаем количество действительных корней. Для данного конкретного уравнения можно поступить более просто. Производная имеет вид $%4x^3+3x^2$%, обращаясь в ноль в точках $%x=0$% и $%x=-3/4$%. Отсюда становятся известны промежутки возрастания и убывания. Имеет место возрастание при $%x > -3/4$% и убывание при $%x < -3/4$% (в нуле экстремума нет). На монотонном участке функция обращается в ноль не более одного раза. Поэтому корней не более двух. С учётом сказанного выше, ровно два.
(5 Сен '14 22:54)
falcao
А что такое производная?)
(5 Сен '14 23:00)
NastyaNastya
Я видимо эту тему не учила. В каком классе она изучается?
(5 Сен '14 23:02)
NastyaNastya
Наверное, в 10-м классе. Вообще-то для исследования функций это одно из самых основных средств. Её смысл -- скорость изменения функции.
(5 Сен '14 23:04)
falcao
Понятно, вроде ни одного урока не пропустила, но чтобы производная - не помню. Ещё один вопрос: вот Вы взяли значения икса: -1,-2,0 и 1, а почему именно эти, а не какие либо другие?
(5 Сен '14 23:10)
NastyaNastya
Другие значения брать не имело смысла, так как если $%x$% достаточно большое по модулю, то значение многочлена будет очень большое за счёт величины $%x^4$%. В частности, оно положительно, и корней в "далёких" точках заведомо не будет. Надо было указать точки, где значения функции имеют разные знаки -- тогда между ними есть корень. Это делалось подбором, который в данном случае совсем простой. Вообще, здесь можно было бы всё сделать и без обращения к понятию производной. Но оно как средство весьма стандартно. Это всё есть в школьных учебниках.
(5 Сен '14 23:19)
falcao
Спасибо, открыла учебник по алгебре за 11 класс, эта тема первая идёт, я пока её не изучала, мы с классом тригонометрию ещё повторяем.
(5 Сен '14 23:42)
NastyaNastya
Сейчас единой программы нет, и в разных учебниках может быть по-разному. Когда я учился в школе, у нас это было в учебнике "Алгебра и начала анализа" за 9-й класс, но тогда в школах была десятилетка.
(5 Сен '14 23:51)
falcao
показано 5 из 8
показать еще 3
|