|
Никак не могу разложить уравнение:$$2cos^{3}x+sinx-3sin^{2}xcosx=0$$ на множители. Помогите, пожалуйста, разобраться и решить данное уравнение. Заранее благодарна. задан 6 Сен '14 17:53 
NastyaNastya |
|
$$\begin{array}{l} 2{\cos ^3}x + \sin x - 3{\sin ^2}x\cos x = 0 \Leftrightarrow \\ 2{\cos ^3}x + \sin x - 3\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\cos x = 0 \Leftrightarrow \\ 2{\cos ^3}x + \sin x - 3\cos x + 3{\cos ^3}x = 0 \Leftrightarrow \\ 5{\cos ^3}x + \sin x - 3\cos x = 0 \Leftrightarrow \left[ {{\text{поделим на }}\cos x} \right] \Leftrightarrow \\ 5{\cos ^2}x + {\mathop{\rm tg}\nolimits} x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {{{\cos }^2}x = \frac{1}{{{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} }^2}x + 1}}} \right] \Leftrightarrow \\ \frac{5}{{{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} }^2}x + 1}} + {\mathop{\rm tg}\nolimits} x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {{\text{замена }}{\mathop{\rm tg}\nolimits} x = t} \right]\\ \frac{5}{{1 + {t^2}}} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow 5 + \left( {t - 3} \right)\left( {1 + {t^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \\ {t^3} - 3{t^2} + t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {{t^2} - t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \\ \left[ \begin{array}{l} {\mathop{\rm tg}\nolimits} x = 2\\ {\mathop{\rm tg}\nolimits} x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\\ {\mathop{\rm tg}\nolimits} x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {\mathop{\rm arctg}\nolimits} 2 + \pi k\\ x = {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} + \pi n\\ x = {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} + \pi m \end{array} \right. \end{array}$$ отвечен 6 Сен '14 18:39 
Igore Спасибо, я дошла до пятой строчки Вашего решения, а косинус квадрат выразить через тангенс, не догадалась...
(6 Сен '14 18:47)
NastyaNastya
Если нравится - ставьте лайк ;)
(6 Сен '14 18:50)
Igore
1
@NastyaNastya: общий приём таков: если уравнение от косинуса и синуса однородное степени $%n$%, то его можно решить при помощи деления на $%\cos^nx$%, и получится алгебраическое уравнение относительно тангенса. В данном случае уравнение не однородно, но если второе слагаемое степени 1 домножить на $%\cos^2x+\sin^2x$%, сразу получается уравнение 3-й степени. Оно совпадает с тем, которое указано в решении @Igorr.
(6 Сен '14 21:10)
falcao
Спасибо, за идею, мне даже в голову такое не пришло: домножить на cos^2x+sin^2x;
(8 Сен '14 15:34)
NastyaNastya
|