диофантовы-уравнения - Диофантово уравнение $%x\left( {x + 1} \right) = 4y\left( {y + 1} \right)$%

Решим уравнение для неотрицательных $%x$% и $%y$%: $$x^2<x(x+1)<(x+1)^2,$$ $$4y^2<4y(y+1)<4(y+1)^2.$$ Откуда $%2y-1<x<2y+2$%, то есть $%x=2y$% или $%x=2y+1$%. Подставляя в уравнение, найдем решение $%(0,0)$%.

Пусть $%x$% отрицательно, а $%y$% - неотрицательно. Сделаем замену $%x=-u-1$%. Тогда $%u\geqslant 0$% и мы получаем уравнение $$u(u+1)=4y(y+1),$$ решение которого уже знаем. Тогда получим $%(-1,0)$%.

Точно также, рассматривая случай для отрицательных $%y$% и производя замену $%y=-v-1$%, мы получим еще два решения $%(0,-1)$% и $%(-1,-1)$%.