|
Случайный процесс X(t) определен формулой X(t)=ln(1+Yt), t>0, Y-c.в, функция распределения которой равна G(y). Надо найти ф.р. F(x)=P{X(t)<x} и описать множество траекторий. задан 6 Сен '14 19:43 
Яська |
|
Подразумевается ли в условии, что $%Y\ge0$% с вероятностью 1? Если нет, то траектории могут обрываться. Я буду исходить из того, что при каждом $%t$% задана соответствующая случайная величина $%X_t$%, определённая для каждого элементарного события $%\omega$%. Это соответствует формальному определению случайного процесса, хотя в принципе можно рассматривать и нечто более сложное. При условии $%Y\ge0$% п.н. мы имеем положительное число под знаком логарифма, и тогда событие $%\{X_t < x\}$% равно $%\{Y < \frac{e^x-1}t\}$%. Поэтому функция распределения с.в. $%X_t$% будет равна $%G(\frac{e^x-1}t)$%. Траекториями в этом случае будут графики функций вида $%\ln(1+at)$%, где $%a\ge0$% -- параметр. отвечен 6 Сен '14 21:37 
falcao А почему траектории могут обрываться?
(6 Сен '14 22:00)
Яська
Если $%Y$% приняла отрицательное значение -- например, $%-3$%, то $%t < \frac13$% ввиду неравенства $%1+Yt > 0$%.
(6 Сен '14 22:12)
falcao
А почему если просят найти математическое ожидание, то дано дополнительное условие, что Y имеет равномерное распределение на отрезке [0,1]? Ведь можно просто найти плотность, а дальше посчитать интеграл. Где я использую равномерное распределение?
(6 Сен '14 22:45)
Яська
Если не задать конкретное распределение, то матожидание $%MX_t$% можно найти лишь "абстрактно", да и то в предположении, что оно существует. Для равномерного распределения получается конкретная вычислительная задача, которая так и решается. Находится плотность, и вычисляется интеграл.
(6 Сен '14 22:55)
falcao
Я не могу понять все же, если например с.п. задан X(t)=min(Y,t), то:
(7 Сен '14 11:24)
Яська
А в чём проблема построения графиков функций вида $%\min(a,t)$%, где $%a$% -- заданная константа? График состоит из отрезка биссектрисы и луча, параллельного оси абсцисс. Такой процесс можно интерпретировать как показания часов, которые до какого-то случайного момента показывают точное время, а потом останавливаются. Специфика распределения учитывается в том, что функция распределения в каждом конкретном случае своя, поэтому и плотность своя, и матожидание своё. Это всё явно зависит от того, какой вид имеет функция $%G$%.
(7 Сен '14 11:50)
falcao
Нет, не так. Вы находите матожидание для величины $%Y$%, но оно известно заранее, и его вычислять не требуется. Надо при каждом $%t$% находить матожидание величины $%X_t$%. Функция распределения для неё выражается как через $%G$%, так и через $%t$%.
(7 Сен '14 14:51)
falcao
Можете на примере равномерного распределения показать, как для каждого t искать?
(7 Сен '14 15:02)
Яська
показано 5 из 8
показать еще 3
|
Для равномерного распределения и нахождения матожидания надо поместить отдельный вопрос, а то здесь уже негде писать в комментариях. Формулировку желательно сделать подробную.