Как связаны длины сторон треугольника, в котором один угол в два раза больше другого?

задан 6 Сен '14 23:11

изменен 6 Сен '14 23:11

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть углы треугольника равны $%\alpha,2\alpha,180^{\circ}-3\alpha$%, длины противолежащих им сторон - $%a,b,c$%. Тогда $%a(a+c)=b^2$%.

Это легко следует из теоремы синусов $$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin2\alpha}=\frac{c}{\sin3\alpha}.$$ Достаточно лишь выразить $%b$% и $%c$% через $%a$% и $%\alpha$%.

ссылка

отвечен 6 Сен '14 23:21

изменен 6 Сен '14 23:39

А как это можно сделать с помощью свойств биссектрисы?

(6 Сен '14 23:24) student

Примерно так же. Пусть в треугольнике $%ABC$% вершины соответствуют противолежащим им сторонам. Если из угла $%B$% провести биссектрису $%BD$% ($%D$% лежит на $%AC$%), то треугольники $%ABC$% и $%BCD$% подобны. Откуда $%\frac{a}{b}=\frac{CD}{a}=\frac{BD}{c}$%. Но $%BD=DA=b-CD$% (в силу равнобедренности $%ABD$%).

(6 Сен '14 23:30) cartesius

Полезно добавить, что кроме указанного в решении основного условия, должно выполняться неравенство $%c < 3a$%, что следует из неравенства треугольника $%c < a+b$%.

(7 Сен '14 11:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,368
×589
×21

задан
6 Сен '14 23:11

показан
321 раз

обновлен
7 Сен '14 11:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru