тригонометрия - Доказать тождество

Удвоенное произведение синусов равно разности двух величин: косинуса разности и косинуса суммы. Отсюда $%2\sin(\alpha+60^{\circ})\sin(\alpha-60^{\circ})=\cos120^{\circ}-\cos2\alpha$%. Следовательно, в правой части равенства находится выражение, равное $%-\frac{1+2\cos2\alpha}{\sin^2\alpha}$%. В правой же части имеется $%1-\frac{3\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha-3\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$%.

Осталось сравнить числители. Меняя знаки, видим, что $%3\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1+2\cos2\alpha$% с учётом основного тригонометрического тождества и формулы косинуса двойного угла.

Вообще, все такие примеры решаются "механически": делаем естественные преобразования, применяя известные формулы, и всё должно совпасть, если перед нами действительно тождество.

Бывают задачи, в которых надо додуматься до какого-то "хитрого" преобразования, но здесь применяется только набор самых распространённых формул тригонометрии.