|
В треугольнике $%ABC$% проведены биссектриса $%AD$% и медиана $%BK$%. Из точек $%D$% и $%K$% опущены перпендикуляры $%DM$% и $%KN$% на сторону $%AB$%. Известно, что $%AM:MB=9:1$%, $%AN:NB=2:3$%. Найти отношение $%AD:BK$%. Пробовал решать, но я не уверен, что верно. задан 7 Сен '14 8:45 
Ekzo609 |
|
Полагая $%AB=10$%, что не ограничивает общности, имеем $%AM=9$%, $%MB=1$%, $%AN=4$%, $%NB=6$%. Опустим высоту $%CE$%. Ввиду $%CK=KA$%, отрезок $%KN$% будет средней линией треугольника $%CAE$%, поэтому $%AN=NE=4$%. Отсюда следует, что $%EM=MB=1$%, то есть $%MD$% оказывается средней линией треугольника $%EBC$%. Поэтому $%D$% -- середина стороны $%BC$%. Биссектриса $%AD$% оказывается медианой, а исходный треугольник -- равнобедренным: $%AB=AC$%. Применяя теорему Пифагора, находим $%CE=\sqrt{10^2-8^2}=6$%. Тогда $%KN=DM=3$%, и снова по теореме Пифагора находим $%AD=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$% и $%BK=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt5$%. Искомое отношение равно $%\sqrt2$%. отвечен 7 Сен '14 12:00 
falcao |