Как связаны длины сторон треугольника, если известно, что один из его углов в три раза больше другого?

задан 7 Сен '14 10:23

10|600 символов нужно символов осталось
1

Решается точно так же, как и с двойным углом. В треугольнике $%ABC$% пусть угол $%B$% в три раза больше угла $%A$%. Разобьем его на три равных угла лучами $%BK$% и $%BL$%. $%K$% и $%L$% лежат на отрезке $%AC$% и $%AL < AK$%.

Получается две пары подобных треугольников: $%BKL$% и $%BKA$%; $%BCK$% и $%ABC$%.

Дальше - аналогично предыдущей задаче.

Пусть для удобства $%AC=b,AB=c,BC=a,BK=d,CK=e$%, тогда $%KL=CL-CK=BC-CK=a-e$%, $%AL=AC-CL=AC-BC=b-a$%, $%BL=AL=b-a$% и $$\frac{d}{c}=\frac{a}{b}=\frac{e}{a},$$ $$\frac{b-a}{c}=\frac{d}{b-e}=\frac{a-e}{d}.$$

Из первого получаем $%d=ac/b, e=a^2/b$%. Из второго - $%(b-a)(b-e)=cd$%. Подставляя в последнее равенство $%d$% и $%e$% получим $$(b-a)^2(a+b)=ac^2.$$

ссылка

отвечен 7 Сен '14 11:12

изменен 7 Сен '14 11:24

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть угол при вершине $%A$% равен $%\alpha$%, а угол при вершине $%B$% равен $%3\alpha$%. Рассмотрим точку $%D$% на стороне $%AC$% такую, что угол $%DBA$% равен $%\alpha$%. Тогда возникнут два равнобедренных треугольника. В одном из них боковые стороны равны $%DC=BC=a$%, основание равно $%BD=b-a$%, и угол при основании равен $%2\alpha$%. В другом боковые стороны равны $%BD=AD=b-a$%, основание имеет длину $%AB=c$%, а угол при основании равен $%\alpha$%.

С учётом того, что $%\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$%, получаем следующее алгебраическое соотношение между сторонами: $$\frac{b-a}{2a}=2\left(\frac{c}{2(b-a)}\right)^2-1,$$ что преобразуется к виду $%(b-a)^2(b+a)=ac^2$%. При этом $%b > a$% (против большего угла лежит большая сторона), а также должно выполняться неравенство треугольника. Из уравнения автоматически вытекает, что $%b < a+c$%, а учёт условия $%c < a+b$% приводит к ограничению $%(b-a)^2 < a(b+a)$%, то есть $%b < 3a$%. Положительные числа $%a$%, $%b$% выбираются произвольно с учётом указанных ограничений, а $%c$% через них однозначно выражается, и при этом строится треугольник, обладающий нужными свойствами.

ссылка

отвечен 7 Сен '14 11:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,759
×694
×25

задан
7 Сен '14 10:23

показан
1083 раза

обновлен
7 Сен '14 11:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru