|
Добрый день. Помогите, пожалуйста, найти наименьший положительный период функции $%f(x)=2tan(x/2)-3tan(x/3).$% задан 7 Сен '14 18:57 
Rocknrolla |
|
Тут многими способами можно рассуждать. Вот первое, что приходит в голову. Если данная функция $%f(x)=\cos x+\cos\sqrt2x$% имеет положительный период $%T$%, то этим же свойством обладает её вторая производная, с точностью до знака равная $%\cos x+2\cos\sqrt2x$%. Беря линейные комбинации этих функций, мы приходим к выводу, что период $%T$% наличествует у каждой из функций $%\cos x$%, $%\cos\sqrt2x$%. Отсюда уже вытекает противоречие, так как числа $%T$% и $%T/\sqrt2$% будут кратны $%2\pi$%, что невозможно по причине иррациональности числа $%\sqrt2$%. отвечен 7 Сен '14 23:15 
falcao |
|
я рассуждаю так: функция f(x)=cosx+cos√2x складывается из 2 функций, f_1(x)=cosx имеет период T=2π, значит все ее периоды задаются формулой 2πn, f_2(x)=cos√2x имеет период T=2π/√2 , значит все ее периоды задаются формулой 2πk/√2, где n и k целые числа, значит период исходный функции будет общим периодом для ее составных функций. Имеем уравнение 2πn=2πk/√2, n√2=k которое не имеет решений в целых числах. Значит, фун не имеет периода. отвечен 18 Дек '15 11:52 
Пётр |
Поскольку наименьший положительный период тангенса равен $%\pi$%, нужно, чтобы $%T/2$% и $%T/3$% были кратны $%\pi$%, откуда следует, что $%T=6\pi$%.
Спасибо, а как найти период, например, функции $%cos(x)+cos(sqrt(2)*x)$%? Можно ли найти из определения $%f(x)=f(x+T)$% и как?
Такая функция не будет периодической из-за иррациональности корня из двух. Если интересует строгое доказательство, я могу попробовать его изложить.
Было бы очень неплохо, так как подобные задачи вообще в ступор вводят.