Добрый день.

Помогите, пожалуйста, найти наименьший положительный период функции

$%f(x)=2tan(x/2)-3tan(x/3).$%

задан 7 Сен '14 18:57

изменен 8 Сен '14 8:42

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Поскольку наименьший положительный период тангенса равен $%\pi$%, нужно, чтобы $%T/2$% и $%T/3$% были кратны $%\pi$%, откуда следует, что $%T=6\pi$%.

(7 Сен '14 19:13) falcao

Спасибо, а как найти период, например, функции $%cos(x)+cos(sqrt(2)*x)$%? Можно ли найти из определения $%f(x)=f(x+T)$% и как?

(7 Сен '14 19:25) Rocknrolla

Такая функция не будет периодической из-за иррациональности корня из двух. Если интересует строгое доказательство, я могу попробовать его изложить.

(7 Сен '14 22:02) falcao

Было бы очень неплохо, так как подобные задачи вообще в ступор вводят.

(7 Сен '14 22:04) Rocknrolla
10|600 символов нужно символов осталось
1

Тут многими способами можно рассуждать. Вот первое, что приходит в голову. Если данная функция $%f(x)=\cos x+\cos\sqrt2x$% имеет положительный период $%T$%, то этим же свойством обладает её вторая производная, с точностью до знака равная $%\cos x+2\cos\sqrt2x$%. Беря линейные комбинации этих функций, мы приходим к выводу, что период $%T$% наличествует у каждой из функций $%\cos x$%, $%\cos\sqrt2x$%. Отсюда уже вытекает противоречие, так как числа $%T$% и $%T/\sqrt2$% будут кратны $%2\pi$%, что невозможно по причине иррациональности числа $%\sqrt2$%.

ссылка

отвечен 7 Сен '14 23:15

10|600 символов нужно символов осталось
0

я рассуждаю так: функция f(x)=cosx+cos√2x складывается из 2 функций, f_1(x)=cosx имеет период T=2π, значит все ее периоды задаются формулой 2πn, f_2(x)=cos√2x имеет период T=2π/√2 , значит все ее периоды задаются формулой 2πk/√2, где n и k целые числа, значит период исходный функции будет общим периодом для ее составных функций. Имеем уравнение 2πn=2πk/√2, n√2=k которое не имеет решений в целых числах. Значит, фун не имеет периода.

ссылка

отвечен 18 Дек '15 11:52

@Пётр: это рассуждение не работает, потому что можно сложить две непериодические функции, и получить периодическую. Поэтому нельзя ссылаться на принцип, что период суммы функций есть общий период обоих слагаемых. Это верно в одну сторону, но обратное утверждение неверно.

(18 Дек '15 12:22) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×797
×124
×25

задан
7 Сен '14 18:57

показан
1339 раз

обновлен
18 Дек '15 12:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru