alt text

задан 7 Сен '14 19:29

изменен 7 Сен '14 19:31

10|600 символов нужно символов осталось
1

Прямое доказательство по индукции здесь вроде как не проходит, поэтому можно применить некоторые вещи из анализа.

Здесь перемножаются величины вида $%1-\frac1{2k}$%, где $%1\le k\le n$%. Применим известное неравенство $%1-x < e^{-x}$%, справедливое для всех $%x > 0$%. Получится, что произведение в левой части меньше, чем $%\exp(-\frac12(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n))$%.

Теперь заметим, что площадь криволинейной трапеции под графиком функции $%y=\frac1x$%, заключённой между прямыми $%x=1$% и $%x=n$%, равна $%\ln n$%. Эта фигура покрывается ступенчатой фигурой, состоящей из прямоугольников, площадью $%1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n-1}$%, откуда следует неравенство $%1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n > \ln n$%. Тогда оцениваемая выше величина меньше $%\exp(-\frac12\ln n)=\frac1{\sqrt{n}}$%.

Можно использовать и более элементарный подход. При этом доказывается даже более сильное неравенство. Возведём левую часть в квадрат и представим в таком виде: $$\frac{1\cdot3}{2\cdot2}\cdot\frac{3\cdot5}{4\cdot4}\cdot\ldots\frac{(2n-3)(2n-1)}{(2n-2)^2}\cdot\frac{2n-1}{4n^2} < \frac1{2n}$$ за счёт того, что $%(2k-1)(2k+1) < (2k)^2$% при всех $%k$%. Это даёт оценку сверху вида $%\frac1{\sqrt{2n}}$%.

ссылка

отвечен 7 Сен '14 20:03

Спасибо, но задача на тему индукции.

(7 Сен '14 20:13) SenjuHashirama
1

Можно применить и индукцию, но тогда надо немного "схитрить". Дело в том, что индукционный шаг прямо не проходит, так как он требует выполнения неравенства, которое не выполняется. Тогда надо слегка усилить неравенство, доказывая по индукции, что левая часть не больше $%\frac1{\sqrt{n+1}}$%. Это верно при $%n=1$%, а применение шага приводит к условию $%(n+2)(2n+1)^2 < 4(n+1)^3$%, которое проверяется раскрытием скобок.

(7 Сен '14 20:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×220

задан
7 Сен '14 19:29

показан
354 раза

обновлен
7 Сен '14 20:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru