|
$$\begin{array}{l} 1.{\text{ Дано уравнение }}{\left( {3 - x} \right)^4} + {\left( {2 - x} \right)^4} = {\left( {5 - 2x} \right)^4}.\\ {\text{Ниже указан один из способов его решения}}{\text{.}}\\ {\text{Можете ли привести другой способ решения}}\\ {\text{этого уравнения?}}\\ {\text{Способ 1}}{\text{.}}\\ t = x - 2,5 \Leftrightarrow x = t + 2,5\\ {\left( {t - 0,5} \right)^4} + {\left( {t + 0,5} \right)^4} = 16{t^4} \Leftrightarrow 2{t^4} + 3{t^2} + \frac{1}{8} = 16{t^4} \Leftrightarrow \\ 112{t^4} - 24{t^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {t^2} = \frac{1}{4}\\ {t^2} = - \frac{1}{{28}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \frac{1}{2}\\ t = - \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \left[ \begin{array}{l} x - 2,5 = 0,5\\ x - 2,5 = - 0,5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 3 \end{array} \right.\\ 2.{\text{ Верно ли}}{\text{, что уравнение }}{\left( {3 - x} \right)^{2k}} + {\left( {2 - x} \right)^{2k}} = {\left( {5 - 2x} \right)^{2k}}\\ {\text{при любых натуральных значениях }}k{\text{ имеет только два}}\\ {\text{вещественных корня }}{x_1} = 2{\text{ и }}{x_2} = 3? \end{array}$$ задан 7 Сен '14 19:53 
Igore |
|
Да, верно в общем случае. Поскольку $%5-2x\ne0$%, можно разделить обе части уравнения на $%(5-2x)^{2k}$%. Получится равенство вида $%a^{2k}+b^{2k}=1$%, где $%a=\frac{3-x}{5-2x}$%, $%b=\frac{2-x}{5-2x}$%, то есть $%a+b=1$%. Ясно, что $%|a|,|b|\le1$%: в противном случае число $%a^{2k}+b^{2k}$% строго больше единицы. Из этого следует, что $%a,b\le1$%, и ввиду $%a+b=1$% оба числа неотрицательны. Поэтому модули можно убрать, и получается, что $%a\le a^{2k}$%, $%b\le b^{2k}$%, то есть $%1=a+b\le a^{2k}+b^{2k}=1$%. Тем самым, рассмотренные выше неравенства превращаются в равенства. Условие $%a=a^{2k}$% влечёт $%a=0$% или $%a^{2k-1}=1$%, а последнее возможно только при $%a=1$%, и тогда $%b=0$%. Таким образом, доказано, что $%3-x=0$% или $%2-x=0$%. отвечен 7 Сен '14 20:18 
falcao |
|
Решить можно и так, наверное. отвечен 7 Сен '14 20:36 
epimkin Да, но в случае более высокой степени получается что-то уже более сложное для анализа.
(7 Сен '14 20:40)
falcao
Я имел ввиду именно это уравнение (первый вопрос автора).
(7 Сен '14 21:28)
epimkin
Для первого уравнения можно было также раскрыть все скобки, а потом поделить многочлен 4-й степени на x-2 и x-3. Такое решение, конечно, не очень красивое, но зато там думать не надо.
(7 Сен '14 21:58)
falcao
|
