Пусть $%x, y, (x+5)/y+(y+5)/x, (x^2+5)/y+(y^2+5)/x$% -- целые числа.

Доказать, что $%(x^5+5)/y+(y^5+5)/x$% -- целое число.

задан 7 Сен '14 21:30

изменен 7 Сен '14 21:43

10|600 символов нужно символов осталось
2

Из четвёртого числа вычтем третье. Получится, что $%(x^2-x)/y+(y^2-y)/x$% целое. Домножим на $%x$%, вычитая далее $%y^2-y$%. Окажется, что $%(x^3-x^2)/y$% целое. То же верно для чисел $%(x^4-x^3)/y$% и $%(x^5-x^4)/y$%. Из соображений симметрии это же верно для чисел, в которых $%x$% и $%y$% поменялись местами.

Если теперь прибавить это всё к третьему числу из условия, то получится то число, про которое требовалось установить, что оно целое.

ссылка

отвечен 7 Сен '14 21:44

Благодарю за короткое и красивое решение.

(7 Сен '14 21:52) stander
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,070
×216
×119
×16

задан
7 Сен '14 21:30

показан
619 раз

обновлен
7 Сен '14 21:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru