На гипотенузе $%AB$% прямоугольного треугольника $%ABC(C=90)$% во вне построен квадрат, диагонали которого пересекаются в точке $%O$%. Прямая $%CO$% пересекает гипотенузу $%AB$% в точке $%K$%, $%OK=5\sqrt {5/2}$% и $%CK=3\sqrt{5/2}$%. Найти стороны треугольника $%ABC$%.

задан 8 Сен '14 18:25

изменен 9 Сен '14 17:10

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Построим окружность на $%AB$% как на диаметре. По свойству прямого угла, точки $%C$% и $%O$% принадлежат построенной окружности. Тогда по свойству пересекающихся хорд выполняется равенство $%AK\cdot KB=CK\cdot KO=\frac{75}4$%.

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $%AOB$%. Пусть $%L$% -- середина $%AB$%. Тогда $%AK=AL-KL$%, $%BK=BL+KL=AL+KL$%. Отсюда $%\frac{75}4=(AL-KL)(AL+KL)=AL^2-KL^2$%. Однако $%OL=AL$%, и по теореме Пифагора, применённой к $%OKL$%, получается $%\frac{125}4=AL^2+KL^2$%. Из полученных двух уравнений $%AL^2=25$%, то есть $%AL=5$%, и поэтому длина гипотенузы равна $%c=AB=10$%.

Осталось найти катеты $%a$%, $%b$%. Про них известно, что $%a^2+b^2=100$%. Проводя высоту длиной $%h$% из точки $%C$% с основанием $%E$% на гипотенузе, мы видим, что треугольники $%CKE$% и $%OKL$% подобны, откуда $%h:OL=CK:KO=\frac35$%. Следовательно, $%h=3$%. Из этих данных нам становится известно произведение $%ab=ch=30$% (удвоенная площадь). Тогда $%(a+b)^2=c^2+2ab=160$%, то есть $%a+b=4\sqrt{10}$%. Зная сумму и произведение чисел $%a$%, $%b$%, мы можем их найти, решая соответствующее квадратное уравнение, в качестве корней которого с учётом теоремы Виета подходят числа $%3\sqrt{10}$% и $%\sqrt{10}$%. Это и есть длины катетов.

ссылка

отвечен 8 Сен '14 23:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×588
×372

задан
8 Сен '14 18:25

показан
2363 раза

обновлен
9 Сен '14 19:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru