|
На гипотенузе $%AB$% прямоугольного треугольника $%ABC(C=90)$% во вне построен квадрат, диагонали которого пересекаются в точке $%O$%. Прямая $%CO$% пересекает гипотенузу $%AB$% в точке $%K$%, $%OK=5\sqrt {5/2}$% и $%CK=3\sqrt{5/2}$%. Найти стороны треугольника $%ABC$%. задан 8 Сен '14 18:25 
Ekzo609 |
|
Построим окружность на $%AB$% как на диаметре. По свойству прямого угла, точки $%C$% и $%O$% принадлежат построенной окружности. Тогда по свойству пересекающихся хорд выполняется равенство $%AK\cdot KB=CK\cdot KO=\frac{75}4$%. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $%AOB$%. Пусть $%L$% -- середина $%AB$%. Тогда $%AK=AL-KL$%, $%BK=BL+KL=AL+KL$%. Отсюда $%\frac{75}4=(AL-KL)(AL+KL)=AL^2-KL^2$%. Однако $%OL=AL$%, и по теореме Пифагора, применённой к $%OKL$%, получается $%\frac{125}4=AL^2+KL^2$%. Из полученных двух уравнений $%AL^2=25$%, то есть $%AL=5$%, и поэтому длина гипотенузы равна $%c=AB=10$%. Осталось найти катеты $%a$%, $%b$%. Про них известно, что $%a^2+b^2=100$%. Проводя высоту длиной $%h$% из точки $%C$% с основанием $%E$% на гипотенузе, мы видим, что треугольники $%CKE$% и $%OKL$% подобны, откуда $%h:OL=CK:KO=\frac35$%. Следовательно, $%h=3$%. Из этих данных нам становится известно произведение $%ab=ch=30$% (удвоенная площадь). Тогда $%(a+b)^2=c^2+2ab=160$%, то есть $%a+b=4\sqrt{10}$%. Зная сумму и произведение чисел $%a$%, $%b$%, мы можем их найти, решая соответствующее квадратное уравнение, в качестве корней которого с учётом теоремы Виета подходят числа $%3\sqrt{10}$% и $%\sqrt{10}$%. Это и есть длины катетов. отвечен 8 Сен '14 23:27 
falcao |