геометрия - В каком отношении биссектриса делит высоту?

Рассмотрим случай, когда угол при вершине $%B$% острый. Тогда основание $%A_1$% высоты, опущенной из точки $%A$% на противоположную сторону лежит на луче $%BC$%. По свойству биссектрисы, отрезок $%A_1A$%, считая от вершины $%A_1$%, делится в отношении $%BA_1:BA=\cos\beta$% (угла при вершине $%B$%). Косинус выражается через стороны по хорошо известной формуле (теорема косинусов).

Если угол прямой, то эта же формула даёт значение $%0$%, что соответствует действительности. Для случая тупого угла формула также верна, что проверяется отдельно. Отношение там будет принимать отрицательное значение, равное $%\vec{A_1D}:\vec{DA}$%, где $%D$% -- точка пересечения. Здесь надо проверить, что отношение длин $%A_1D:DA$% равно (положительному) числу $%-\cos\beta$%.

Сделаем дополнительное построение, аналогичное тому, при помощи которого доказывается свойство биссектрисы. А именно, проведём через точку $%A$% прямую, параллельную $%BC$%, до пересечения с биссектрисой $%BD$% в точке $%E$%. Тогда $%DBA_1$% и $%DEA$% -- подобные прямоугольные треугольники. Отношение $%DA_1:DA$% равно $%BA_1:EA$%. Легко видеть, что $%BA_1=c\cos(\pi-\beta)=-c\cos\beta$%, и $%EA=BA=c$%, так как углы $%BEA$% и $%EBA$% равны. Последнее вытекает из параллельности построенных прямых и того факта, что $%BE$% -- биссектриса угла.