Пусть задан плоский шарнирный 4-звенник с длинами звеньев последовательно $%a, b, c, d$% с опиранием звеньев $%a, b$% на диагональ f. Найти диагонали f и e при условии, что площадь 4-звенника максимальна.

задан 8 Сен '14 19:40

изменен 8 Сен '14 22:00

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если мне не изменяет память, какие-то вопросы этого типа уже поднимались.

Вот здесь говорилось о том, что наибольшей площадью при заданных длинах сторон обладает вписанный четырёхугольник. Если дважды применить теорему косинусов, то получится соотношение $%f^2=a^2+b^2-2ab\cos\varphi=c^2+d^2+2cd\cos\varphi$%, где $%\varphi$% -- угол между сторонами длиной $%a$% и $%b$%. У противоположного ему угла четырёхугольника косинус имеет противоположный знак.

Из этого уравнения косинус выражается через длины сторон. Далее это значение подставляется в соотношение для $%f^2$%, и после упрощений получается равенство $$f^2=\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}.$$ Формула для $%e^2$% выводится аналогично.

ссылка

отвечен 8 Сен '14 22:20

@falkao! Извините за задержку комментария. Я согласен с Вашими рассуждениями вокруг косинуса угла между звеньями a, b. Но у меня результат таков: $$cos \phi = (a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2})/(2(ab + cd)).$$ Отсюда: $$f^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab cos\phi.$$ Ваша формула очень проста. Нельзя ли вывести меня на Вашу формулу? Не ради меня, а ради тех, кто будет читать эту задачу. Если среди них будут такие, как я, пусть им будет всё понятно. Пожалуйста!.. Да, я вспомнил, что нечто подобное уже было в перечне задач. Спасибо Вам!

(9 Сен '14 22:39) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: так я указал, как получается формула. Надо во вторую из указанных Вами строк поставить выражение для косинуса из первой. Остальное -- это тождественные преобразования; приводить их в явном виде как-то не очень интересно. Упражнений такого типа полно в сборниках задач: типа, дано громоздкое выражение, и надо упростить дробь.

Если кто-то начал преобразовывать, но запутался, тогда я мог бы что-то подсказать. Вообще, следить за длинными выкладками в тексте не надо: обычно читатель усваивает идею, считает всё сам, а потом сверяет. Вся информация здесь дана.

(9 Сен '14 22:53) falcao

Извините. Не сочтите меня назойливым. Я попробую. Ещё раз извините!


Чтобы убедиться в том, что правые части выражений для $%f2$% в формуле @falcao и в моей тождественны, нужно приравнять их друг к другу. Все одночлены взаимно уничтожатся

(9 Сен '14 23:07) nikolaykruzh...

При тождественных преобразованиях именно так и должно быть.

(10 Сен '14 19:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,370

задан
8 Сен '14 19:40

показан
233 раза

обновлен
10 Сен '14 19:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru