Являются ли множества $%f(x)=Asin(x+c)$% и $%f(x)=Ax+B+C/x$% (где $%A, B, C, A, c$% - константы) векторными пространствами?

задан 9 Сен '14 13:55

изменен 9 Сен '14 16:37

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

То, что написано, это функции, а не множества. Я так понимаю, первый вопрос состоит в том, образует ли векторное пространство множество функций вида $%A\sin(x+c)$%. Это уточнение формулировки.

(9 Сен '14 16:31) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Начну со второго примера: он проще. Рассматривается множество функций определённого вида. Для того, чтобы оно было векторным пространством (относительно стандартных операций), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия. Их называют "замкнутость относительно сложения" и "замкнутость относительно умножения на скаляр". (Также требуется, чтобы множество не было пустым, но здесь это очевидно.)

Для проверки надо взять две функции рассматриваемого вида -- скажем, $%f_1=A_1x+B_1+C_1/x$%, $%f_2=A_2x+B_2+C_2/x$% и сложить. Получится функция $%Ax+B+C/x$% того же вида, где $%A=A_1+A_2$%, $%B=B_1+B_2$%, $%C=C_1+C_2$%. Это значит, что наше множество замкнуто относительно сложения. Ещё проще проверяется замкнутость относительно умножения на скаляр $%\alpha$%: из функции $%Ax+B+C/x$% получается такого же вида функция, где все константы домножились на $%\alpha$%.

В этом примере (втором) за основу взяты три функции: $%x$%, $%1$%, $%1/x$%, и далее рассматриваются все их линейные комбинации (суммы с постоянными коэффициентами). Во всех таких случаях получается векторное пространство функций. По первому примеру: функция косинус также входит в рассматриваемое множество в силу тождества $%\cos x=\sin(x+\pi/2)$% (при $%A=1$%, $%c=\pi/2$%). Обратно, функция $%\sin(x+c)$% при любом $%c$% раскладывается по синусу и косинусу с постоянными коэффициентами: $%\cos c\sin x+\sin c\cos x$%. Отсюда следует, что в первом примере мы имеем дело с функциями вида $%\alpha\cos x+\beta\sin x$%, то есть с линейными комбинациями косинуса и косинуса. А такие функции всегда образуют векторное пространство, как было отмечено выше.

То есть ответ в обоих задачах положительный.

ссылка

отвечен 9 Сен '14 17:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×849

задан
9 Сен '14 13:55

показан
391 раз

обновлен
9 Сен '14 17:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru