линейная-алгебра - Векторное пространство

Начну со второго примера: он проще. Рассматривается множество функций определённого вида. Для того, чтобы оно было векторным пространством (относительно стандартных операций), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия. Их называют "замкнутость относительно сложения" и "замкнутость относительно умножения на скаляр". (Также требуется, чтобы множество не было пустым, но здесь это очевидно.)

Для проверки надо взять две функции рассматриваемого вида -- скажем, $%f_1=A_1x+B_1+C_1/x$%, $%f_2=A_2x+B_2+C_2/x$% и сложить. Получится функция $%Ax+B+C/x$% того же вида, где $%A=A_1+A_2$%, $%B=B_1+B_2$%, $%C=C_1+C_2$%. Это значит, что наше множество замкнуто относительно сложения. Ещё проще проверяется замкнутость относительно умножения на скаляр $%\alpha$%: из функции $%Ax+B+C/x$% получается такого же вида функция, где все константы домножились на $%\alpha$%.

В этом примере (втором) за основу взяты три функции: $%x$%, $%1$%, $%1/x$%, и далее рассматриваются все их линейные комбинации (суммы с постоянными коэффициентами). Во всех таких случаях получается векторное пространство функций. По первому примеру: функция косинус также входит в рассматриваемое множество в силу тождества $%\cos x=\sin(x+\pi/2)$% (при $%A=1$%, $%c=\pi/2$%). Обратно, функция $%\sin(x+c)$% при любом $%c$% раскладывается по синусу и косинусу с постоянными коэффициентами: $%\cos c\sin x+\sin c\cos x$%. Отсюда следует, что в первом примере мы имеем дело с функциями вида $%\alpha\cos x+\beta\sin x$%, то есть с линейными комбинациями косинуса и косинуса. А такие функции всегда образуют векторное пространство, как было отмечено выше.

То есть ответ в обоих задачах положительный.