В треугольнике $%ABC$%, один из углов которого равен 48 градусам, длины сторон удовлетворяют соотношению $%(a - c)(a + c)^2 + bc(a + c) = ab^2$%. Выразите в градусах величину двух других углов этого треугольника.

задан 10 Сен '14 21:07

изменен 11 Сен '14 15:46

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим заданное в условии соотношение как квадратное уравнение относительно $%b$%, то есть $%ab^2-bc(a+c)-(a-c)(a+c)^2=0$%. Тогда его дискриминант равен $%D=c^2(a+c)^2+4a(a-c)(a+c)^2=(a+c)^2(c^2-4ac+4a^2)=(a+c)^2(c-2a)^2$%. Отсюда находятся корни уравнения: $%b_{1,2}=\frac1{2a}(c(a+c)\pm(a+c)(c-2a))$%, то есть $%b_1=a+c$%, $%b_2=\frac{c^2-a^2}{a}$%.

Первое значение не походит, так как $%b < a+c$% в силу неравенства треугольника. Следовательно, имеет место равенство $%c^2-a^2=ab$%, из которого $%c^2=a(a+b)$%. Посмотрим, что оно означает.

Продолжим луч $%BC$% за точку $%C$% и выберем на нём точку $%A'$% такую, что $%CA'=CA$%. Треугольник $%ABC$% при этом будет подобен треугольнику $%A'BA$%, поскольку угол $%B$% у них общий, а отношения длин прилежащих сторон равны: $%BA:BA'=c:(a+b)=a:c=BC:BA$%. Верно и обратное заключение, то есть из подобия следует равенство $%c^2=a(a+b)$%.

Таким образом, угол $%BAC$% равен углу $%BA'A$%, а он в свою очередь равен углу $%CAA'$% ввиду $%CA=CA'$%. Также угол $%BCA$% равен углу $%BAA'$%, то есть $%\gamma=2\alpha$% (в стандартных обозначениях). Эти рассуждения можно провести и в обратную сторону, в результате чего окажется, что из последнего условия вытекает равенство $%c^2=a(a+b)$%, а также равенство из условия задачи.

Таким образом, в условии фактически дано то, что один из углов треугольника вдвое больше другого, и при этом какой-то угол равен 48 градусам. Рассматривая три возможных случая, получаем следующие возможные наборы значений углов в градусах (все эти возможности реализуются): 48, 24, 108, или 48, 96, 36, или 44, 88, 48.

ссылка

отвечен 11 Сен '14 1:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×479
×373

задан
10 Сен '14 21:07

показан
527 раз

обновлен
11 Сен '14 1:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru