1. $%f(x)=\cos x$% при $%0 < x < \frac{\pi}{2}$%.
  2. $%f(x)=0$% при $% \frac{\pi}{2} < x < \pi$%.

задан 10 Сен '14 21:40

изменен 12 Сен '14 14:41

falcao's gravatar image


190k1632

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для разложения по косинусам надо продолжить функцию по чётности. Тогда коэффициенты Фурье вычисляются по формулам $$a_n=\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\cos nx\,dx=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}(\cos(n+1)x+\cos(n-1)x)\,dx.$$ Легко видеть, что $%a_0=\frac2{\pi}$%; $%a_1=\frac12$%. При нечётных $%n > 1$% получается $%a_n=0$%. При чётных значениях $%n=2m$% имеем $%a_{2m}=2\frac{(-1)^{m-1}}{(4m^2-1)\pi}$%. Применяя формулу $%f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx$%, получаем следующее разложение функции по косинусам: $$f(x)=\frac1{\pi}+\frac12\cos x+\frac2{\pi}\sum\limits_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{\cos2mx}{4m^2-1}.$$

Для разложения по синусам функцию надо продолжить по нечётности, и аналогичным способом найти коэффициенты по формулам $$b_n=\frac2{\pi}\int\limits_0^{\pi/2}\cos x\sin nx\,dx=\frac1{\pi}\int\limits_0^{\pi/2}(\sin(n+1)x+\sin(n-1)x)dx.$$ Здесь $%b_1=\frac1{\pi}$%, $%b_{2m\pm1}=\frac1{\pi m}$% для коэффициентов с нечётными номерами, $%b_{2m}=\frac{4m}{\pi(4m^2-1)}$% для коэффициентов с чётными номерами. Разложение по синусам имеет вид $%f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin nx$%, и остаётся подставить в эту формулу найденные выше коэффициенты.

ссылка

отвечен 11 Сен '14 3:25

Разве an = 2/P интеграл от 0 до P/2 cosx*cos2nx dx?

http://s018.radikal.ru/i500/1409/29/c8c15653c5f5.jpg

(12 Сен '14 14:09) Dashka64

Функция чётна, поэтому интеграл от $%-\pi/2$% до $%\pi/2$% равен удвоенному интегралу от $%0$% до $%\pi/2$%.

Если в интеграле участвует $%\cos2nx$%, то это соответствует коэффициенту $%a_{2n}$%, а не $%a_n$%.

(12 Сен '14 14:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,405
×45

задан
10 Сен '14 21:40

показан
4529 раз

обновлен
12 Сен '14 14:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru