высшая-математика - Разложить функцию в ряд Фурье по синусам и косинусам

Для разложения по косинусам надо продолжить функцию по чётности. Тогда коэффициенты Фурье вычисляются по формулам $$a_n=\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\cos nx\,dx=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}(\cos(n+1)x+\cos(n-1)x)\,dx.$$ Легко видеть, что $%a_0=\frac2{\pi}$%; $%a_1=\frac12$%. При нечётных $%n > 1$% получается $%a_n=0$%. При чётных значениях $%n=2m$% имеем $%a_{2m}=2\frac{(-1)^{m-1}}{(4m^2-1)\pi}$%. Применяя формулу $%f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx$%, получаем следующее разложение функции по косинусам: $$f(x)=\frac1{\pi}+\frac12\cos x+\frac2{\pi}\sum\limits_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{\cos2mx}{4m^2-1}.$$

Для разложения по синусам функцию надо продолжить по нечётности, и аналогичным способом найти коэффициенты по формулам $$b_n=\frac2{\pi}\int\limits_0^{\pi/2}\cos x\sin nx\,dx=\frac1{\pi}\int\limits_0^{\pi/2}(\sin(n+1)x+\sin(n-1)x)dx.$$ Здесь $%b_1=\frac1{\pi}$%, $%b_{2m\pm1}=\frac1{\pi m}$% для коэффициентов с нечётными номерами, $%b_{2m}=\frac{4m}{\pi(4m^2-1)}$% для коэффициентов с чётными номерами. Разложение по синусам имеет вид $%f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin nx$%, и остаётся подставить в эту формулу найденные выше коэффициенты.