|
В треугольнике $%ABC$% проведены биссектрисы $%AD$% и $%BE$%. Известно, что $%DE$% - биссектриса угла $%ADC$%. Найдите величину угла $%A$%. задан 10 Сен '14 22:14 
vovax700 |
|
Тут, наверное, есть какое-то решение и получше, но можно предложить чисто вычислительное. Положим $%a=BC$%, $%b=AC$%, $%c=AB$%. По свойству биссектрисы, $%CD:DB=b:c$%. При этом $%CD+DB=a$%, откуда $%CD=\frac{ab}{b+c}$% и $%DB=\frac{ac}{b+c}$%. Ввиду того, что $%DE$% -- биссектриса, применяем снова то же свойство, откуда $%CD:DA=CE:EA=a:c$%. Тем самым, $%AD=\frac{bc}{b+c}$%. Далее можно воспользоваться формулой для отрезка длины биссектрисы: $%AD^2=AB\cdot AC-BD\cdot BC$%, получая уравнение $%\frac{b^2c^2}{(b+c)^2}=bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}$%, равносильное $%bc=(b+c)^2-a^2$%, откуда косинус угла $%A$% оказывается равен $%\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\frac12$%. Это значит, что сам угол равен $%120^{\circ}$%. отвечен 10 Сен '14 23:56 
falcao |
@vovax700, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.