В треугольнике $%ABC$% проведены биссектрисы $%AD$% и $%BE$%. Известно, что $%DE$% - биссектриса угла $%ADC$%. Найдите величину угла $%A$%.

задан 10 Сен '14 22:14

изменен 11 Сен '14 16:58

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@vovax700, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(11 Сен '14 16:04) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
1

Тут, наверное, есть какое-то решение и получше, но можно предложить чисто вычислительное.

Положим $%a=BC$%, $%b=AC$%, $%c=AB$%. По свойству биссектрисы, $%CD:DB=b:c$%. При этом $%CD+DB=a$%, откуда $%CD=\frac{ab}{b+c}$% и $%DB=\frac{ac}{b+c}$%. Ввиду того, что $%DE$% -- биссектриса, применяем снова то же свойство, откуда $%CD:DA=CE:EA=a:c$%. Тем самым, $%AD=\frac{bc}{b+c}$%.

Далее можно воспользоваться формулой для отрезка длины биссектрисы: $%AD^2=AB\cdot AC-BD\cdot BC$%, получая уравнение $%\frac{b^2c^2}{(b+c)^2}=bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}$%, равносильное $%bc=(b+c)^2-a^2$%, откуда косинус угла $%A$% оказывается равен $%\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\frac12$%. Это значит, что сам угол равен $%120^{\circ}$%.

ссылка

отвечен 10 Сен '14 23:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,368
×373

задан
10 Сен '14 22:14

показан
623 раза

обновлен
11 Сен '14 16:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru