планиметрия - Трапеция со средней линией

Пусть $%ABCD$% -- трапеция с основаниями $%AB=x$% и $%CD=y$%. Через точку $%O$% пересечения диагоналей проведём отрезок $%MN$% параллельно основаниям, где $%M$% лежит на $%AD$% и $%N$% на $%BC$%.

Из подобия треугольников $%AOB$% и $%DOC$% ясно, что $%DO:OB=y:x$%. Отсюда $%DB:OB=(x+y):x$%. Но это отношение равно $%y:ON$%, исходя из подобия треугольников $%BDC$% и $%BON$%. Следовательно, $%ON=\frac{xy}{x+y}$%. Из соображений симметрии, $%OM$% имеет такую же длину. Поэтому $%MN=\frac{2xy}{x+y}=\frac34\cdot\frac{x+y}2$% согласно условию. Это приводит к квадратному уравнению $%3x^2-10xy+3y^2=0$%. Поделив на $%y^2$%, имеем $%3t^2-10t+3=0$%, где $%t=x/y$% -- отношение длин оснований. Корнями уравнения являются числа $%3$% и $%1/3$%. Значит, одно из оснований в 3 раза длиннее другого.