Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, проходящей через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен 3/4 средней линии трапеции. Чему равно отношение длин оснований трапеции?

задан 11 Сен '14 20:07

изменен 12 Сен '14 11:03

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%ABCD$% -- трапеция с основаниями $%AB=x$% и $%CD=y$%. Через точку $%O$% пересечения диагоналей проведём отрезок $%MN$% параллельно основаниям, где $%M$% лежит на $%AD$% и $%N$% на $%BC$%.

Из подобия треугольников $%AOB$% и $%DOC$% ясно, что $%DO:OB=y:x$%. Отсюда $%DB:OB=(x+y):x$%. Но это отношение равно $%y:ON$%, исходя из подобия треугольников $%BDC$% и $%BON$%. Следовательно, $%ON=\frac{xy}{x+y}$%. Из соображений симметрии, $%OM$% имеет такую же длину. Поэтому $%MN=\frac{2xy}{x+y}=\frac34\cdot\frac{x+y}2$% согласно условию. Это приводит к квадратному уравнению $%3x^2-10xy+3y^2=0$%. Поделив на $%y^2$%, имеем $%3t^2-10t+3=0$%, где $%t=x/y$% -- отношение длин оснований. Корнями уравнения являются числа $%3$% и $%1/3$%. Значит, одно из оснований в 3 раза длиннее другого.

ссылка

отвечен 11 Сен '14 20:24

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×588
×70

задан
11 Сен '14 20:07

показан
954 раза

обновлен
11 Сен '14 20:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru