математический-анализ - Доказать ограниченность

Уточним формулировку. Пусть $%A$%, $%B$% -- непустые множества чисел. Рассматриваются $%x\in A$% и $%y\in B$%. При этом точные нижние грани могут не существовать, если какое-то из множеств не ограничено снизу. В этом случае можно считать, что $%\inf$% равен $%-\infty$%, и в обеих частях получится это значение ($%A+B$% также не будет ограниченным снизу).

Далее считаем, что $%A$% и $%B$% ограничены снизу. Из теории действительных чисел известно, что у обоих множеств имеется точная нижняя грань (часто это положение принимают в качестве аксиомы). Введём обозначения $%a=\inf A$%, $%b=\inf B$%. Тогда надо доказать, что $%\inf(A+B)=a+b$%, где под $%A+B$% понимается множество всех чисел вида $%x+y$%, где $%x\in A$%, $%y\in B$%.

По определению, $%a\le x$% для всех $%x\in A$% и $%b\le y$% для всех $%y\in B$%. Отсюда следует, что $%a+b\le x+y$%, то есть $%a+b$% будет нижней гранью множества $%A+B$%. Осталось показать, что она является точной.

Возьмём произвольное $%\varepsilon > 0$%. Поскольку $%a$% -- точная нижняя грань $%A$%, существует $%x\in A$% такое, что $%x < a+\varepsilon/2$%. Аналогично, найдётся $%y\in B$% такое, что $%y < b+\varepsilon/2$%. Следовательно, $%x+y < a+b+\varepsilon$%, и из определения точной нижней грани получается, что $%\inf(A+B)=a+b$%.