Пусть $%(x+y)$% есть множество всех сумм $%x+y$%, доказать равенство: $$ inf(x+y)=inf(x)+inf(y).$$

задан 11 Сен '14 20:20

изменен 12 Сен '14 11:04

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Уточним формулировку. Пусть $%A$%, $%B$% -- непустые множества чисел. Рассматриваются $%x\in A$% и $%y\in B$%. При этом точные нижние грани могут не существовать, если какое-то из множеств не ограничено снизу. В этом случае можно считать, что $%\inf$% равен $%-\infty$%, и в обеих частях получится это значение ($%A+B$% также не будет ограниченным снизу).

Далее считаем, что $%A$% и $%B$% ограничены снизу. Из теории действительных чисел известно, что у обоих множеств имеется точная нижняя грань (часто это положение принимают в качестве аксиомы). Введём обозначения $%a=\inf A$%, $%b=\inf B$%. Тогда надо доказать, что $%\inf(A+B)=a+b$%, где под $%A+B$% понимается множество всех чисел вида $%x+y$%, где $%x\in A$%, $%y\in B$%.

По определению, $%a\le x$% для всех $%x\in A$% и $%b\le y$% для всех $%y\in B$%. Отсюда следует, что $%a+b\le x+y$%, то есть $%a+b$% будет нижней гранью множества $%A+B$%. Осталось показать, что она является точной.

Возьмём произвольное $%\varepsilon > 0$%. Поскольку $%a$% -- точная нижняя грань $%A$%, существует $%x\in A$% такое, что $%x < a+\varepsilon/2$%. Аналогично, найдётся $%y\in B$% такое, что $%y < b+\varepsilon/2$%. Следовательно, $%x+y < a+b+\varepsilon$%, и из определения точной нижней грани получается, что $%\inf(A+B)=a+b$%.

ссылка

отвечен 11 Сен '14 20:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,021
×20

задан
11 Сен '14 20:20

показан
608 раз

обновлен
11 Сен '14 20:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru