|
Проходим последовательности, их пределы (неравенство Бернулли, фундаментальная константа $%e$%), было показано задание вычисления пределов через формулу $%\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{A}{n})^n=e^A$%, я попробовал дома решить пару примеров из задачника на эту тему, решил все, которые хотел, кроме одного: задан 11 Сен '14 20:32 
ratchet |
|
То выражение, которое у Вас прибавлено к 1, если взять старшие члены в числителе и знаменателе, превращается в $%-\frac2n$%. Его можно представить в виде $%-\frac2n\alpha(n)$%, где $%\alpha(n)$% стремится к единице. Из этого будет следовать, что значением предела будет $%e^{-2}$%. Этот приём можно строго обосновать разными способами. Например, можно обозначить за $%x$% ту дробь, которая прибавлена к единице. При этом $%x$% стремится к нулю, откуда следует, что $%(1+x)^{1/x}$% стремится к $%e$% при $%x\to0$%. Но в примере имеется $%(1+x)^n$%, что искусственно можно записать как $%(1+x)^{1/x}$% в степени $%nx$%. Из вида $%x$% ясно, что $%nx\to-2$%, и поэтому степень будет стремиться к $%e^{-2}$%. отвечен 11 Сен '14 20:49 
falcao |
|
Прошу прощения за беспокойство, но кажется, что я увидел решение дальше: $$\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{-2n^2-3n}{n^3+2n^2+1})^n=\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{-2n^2-3n}{n^3+2n^2+1}\times\frac{n}{n})^n=\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{-2n^3-3n^2}{(n^3+2n^2+1)n})^n=$$$$=\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{\frac{-2n^3-3n^2}{n^3+2n^2+1}}{n})^n=e^{\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{-2n^3-3n^2}{n^3+2n^2+1}}=e^{\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{-2-3/n}{1+2/n+1/n^3}}=e^{-2}$$ Я решил не удалять вопрос, если у кого-то возникнут трудности с этой или похожей задачей, ну и жалко уже было удалять. отвечен 11 Сен '14 20:45
ratchet 1
Это по сути правильно, но записано в некорректном виде. Предел, который от $%n$% не зависит, приравнивается к переменной величине. Чтобы было всё правильно, надо у показателя степени экспоненты также поставить знак предела. Правда, сам приём такого перехода нужно обосновывать (хотя он и верен). Удалять вопрос не надо, конечно.
(11 Сен '14 20:51)
falcao
1
Пусть $%g(n)\to A$%. Тогда $%(1+g(n)/n)^n$% стремится к $%e^A$%. Это сам факт. Обоснование: положим $%h(n)=n/g(n)$%; оно $%to\infty$%. Мы имеем $%(1+1/h(n))^{h(n)}$% в степени $%n/h(n)=g(n)$%. Далее применяем теорему о пределе степени: если $%u(x)\to a > 0$% и $%v(x)\to b$%, то $%u(x)^{v(x)}\to a^b$%.
(12 Сен '14 0:27)
falcao
|