непрерывность-функции - Непрерывность функций

1) Функция $%f(x)=x^2$% непрерывна в любой точке $%x_0$%. Рассмотрим разность $%f(x)-f(x_0)=x^2-x_0^2=(x-x_0)(x+x_0)$%. Предположим, что $%|x-x_0| < \delta$% для некоторого положительного числа, и тогда по неравенству треугольника получаем, что $%|x|=|x_0+(x-x_0)|\le|x_0|+\delta$%. Тем самым, $%|x+x_0|\le|x|+|x_0|\le2|x_0|+\delta$%. Эта величина не зависит от $%x$%.

Теперь нам надо для любого $%\varepsilon > 0$% подобрать такое $%\delta=\delta(\varepsilon) > 0$%, что из условия $%|x-x_0| < \delta$% следует $%|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon$%. Ясно, что можно брать достаточно малые значения $%\delta$%, так как если некоторое такое значение $%\delta$% нам подошло, то подойдёт и $%\min(\delta;1)$% вместо него. Таким образом, можно считать, что $%\delta\le1$%, и в полученном выше неравенстве окажется, что $%|x+x_0| < 2|x_0|+1$%. Тогда зададим $%\delta$% формулой $%\delta=\frac{\varepsilon}{2|x_0|+1}$%. При этом, если $%|x-x_0| < \delta$%, окажется, что $%|f(x)-f(x_0)|=|x-x_0||x+x_0| < \delta(2|x_0|+1)=\varepsilon$%, что и требовалось.

2) $%f(x)=\{x\}$%. Эта функция непрерывна во всех точках $%x_0\notin\mathbb Z$% и разрывна в целых точках. Докажем оба этих факта.

Если $%x_0\notin\mathbb Z$%, то $%x_0$% находится между какими-то двумя последовательными целыми точками: $%k < x_0 < k+1$%, где $%k=[x_0]$% -- целая часть. Расстояние от $%x_0$% до ближайшего целого числа, равное $%\min(x_0-k,(k+1)-x_0)$%, положительно. Обозначим эту величину через $%a$%. Если $%|x-x_0| < a$%, то $%x\in(k;k+1)$%, что легко увидеть из геометрических соображений. Это значит, что $%[x]=k$%. Тогда для любого $%\varepsilon > 0$% положим $%\delta=\min(\varepsilon,a)$%. При выполнении неравенства $%|x-x_0| < \delta$% мы получим $%f(x)-f(x_0)=\{x\}-\{x_0\}=(x-k)-(x_0-k)=x-x_0$%. Здесь мы использовали то, что дробная часть числа равна разности его самого и его целой части. Следовательно, $%|f(x)-f(x_0)|=|x-x_0| < \delta\le\varepsilon$%.

Теперь рассмотрим случай, когда $%x_0=k\in\mathbb Z$%. Можно применить определение по Гейне, рассматривая числа вида $%k-\frac1n$%, где $%n\to\infty$%. У каждого их таких чисел целая часть равна $%k-1$%, а дробная часть равна $%1-\frac1n\to1$%. Таким образом, у нас имеется последовательность $%a_n=k-\frac1n\to k$%, но при этом $%f(a_n)=\{a_n\}=1-\frac1n\to1$%, что не совпадает с $%f(k)=\{k\}=0$%.

3) $%f(x)=\frac1x$%. Этот пример решается аналогично первому. Функция здесь определена при всех $%x\ne0$% и непрерывна в любой точке области определения. Если $%x_0\ne0$%, то мы рассматриваем те $%x$%, для которых $%|x-x_0| < |x_0|/2$%. Из геометрических соображений ясно, что $%x$% находится по ту же сторону от нуля, что и $%x_0$%. В частности, $%x\ne0$%. Применяя неравенство треугольника, выводим, что $%|x| > |x_0|/2$%.

Теперь мы имеем неравенство $%|f(x)-f(x_0)|=\left|\frac1x-\frac1{x_0}\right|=\frac{|x-x_0|}{|x||x_0|} < \frac{|x-x_0|}{|x_0|^2/2}$%. По заданному $%\varepsilon > 0$% выбираем $%\delta=\min(|x_0|/2,\varepsilon|x_0|^2/2)$%. Тогда из $%|x-x_0| < \delta$% следует, что $%|f(x)-f(x_0)| < \frac{|x-x_0|}{|x_0|^2/2}\le\varepsilon$%.