В треугольник вписана окружность с радиусом 2. Одна из сторон треугольника делится точкой касания на отрезки с длинами 2 и 7. Найти радиус описанной около треугольника окружности.

задан 12 Сен '14 16:13

изменен 13 Сен '14 9:26

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Длина отрезка касательной, идущей из вершины $%A$%, равна $%p-a$%. Тогда мы имеем $%p-a=2$%, то есть $%b+c-a=4$%. Следовательно, $%c=2+7=9$% и $%a-b=5$%. Нам также известно, что $%S=pr=2p$%. С другой стороны, по формуле Герона $%S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)=14p(p-9)$%. Приравнивая к $%S^2=4p^2$%, имеем $%7(p-9)=2p$%, то есть $%p=63/5$%. Тогда $%a=p-(p-a)=53/5$% и $%b=2p-a-c)=28/5$%. Площадь равна $%S=126/5$%. Радиус описанной окружности находится по формуле $%R=\frac{abc}{4S}=\frac{53}5\cdot\frac{28}5\cdot9\cdot\frac{5}{504}=\frac{53}{10}$%.

Я решал без чертежа, а потом сделал рисунок для проверки, и обнаружил, что эта задача решается ещё проще. За счёт совпадения отрезка касательной и радиуса вписанной окружности, треугольник оказывается прямоугольным. Если $%x$% -- третий отрезок касательной, который мы не знаем, то $%S=\frac92(x+2)$% и $%p=x+9$%. Составляя уравнение $%S=2p$%, находим $%x=\frac{18}5$%. Тогда радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: $%R=\frac{x+7}2=\frac{53}{10}$%.

При других числовых данных второй способ мог уже не пройти, и тогда можно было бы решить первым способом.

ссылка

отвечен 12 Сен '14 17:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,370
×373
×217

задан
12 Сен '14 16:13

показан
1054 раза

обновлен
12 Сен '14 17:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru