Под пространством Бесиковича понимается пространство, которое строится следующим образом:

  1. Берётся замыкание линейной оболочки по топологии равномерной сходимости: $%B_0=\overline{\operatorname{span}\{\lambda\in\mathbb R: e^{i\lambda x}\}}$%, где $%i$% - мнимая единица.
  2. Берётся скалярное произведение $%(f,g)=\lim\limits_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int\limits_{-T}^T f(x)\overline{g(x)}dx$%
  3. Берётся пространство $%B_i=B_0\setminus\ker\sqrt{(f,f)}$%, т. е. фактор-пространство.
  4. Берётся пространство $%B_2$% как пополнение пространства $%B_1$% по норме, порождённой скалярной произведением.

У меня возникло несколько вопросов:

Если предел в пункте 2) существует, то, очевидно, все аксиомы скалярного произведения выполнены. Однако, как показать, что этот предел всегда существует?

Добавление

Если $%f,g\in\operatorname{span} \{\lambda\in\mathbb R: e^{i\lambda x}\}$%, то существование предела легко доказывается непосредственным вычислением. Если теперь мы берём $%f,g$% из $%B_0$%, то в силу определения у нас существуют функции $%f_N,g_M$% такие, что: $$\sup\limits_{x \in \mathbb R} |f(x)-f_N(x)| < \epsilon_1\\\sup\limits_{x \in \mathbb R} |g(x)-g_M(x)| < \epsilon_2$$

Вот не совсем понятно, как свести это к интегралу. Подскажите, пожалуйста.

задан 13 Сен '14 9:33

изменен 14 Сен '14 9:06

Обоснование там, судя по всему, нетривиальное. Это лучше посмотреть в литературе. Статья самого Безиковича в LMS (1926) мне недоступна; вот одна из статей на русском, где можно найти обоснование (стр. 4, свойство 10).

(13 Сен '14 13:58) falcao

Я сумел доказать существование предела для функций $%f, g \in \operatorname{Int} B_0$%, однако не совсем понятно, как доказать для остальных.

(14 Сен '14 8:59) MathTrbl
10|600 символов нужно символов осталось
1

По ссылке имеется обоснование некого более сильного факта, который где-то в этой теории может потребоваться. Здесь же речь идёт о вещи в каком-то смысле более простой, поэтому можно рассмотреть подробное доказательство. Скорее всего, тут всё можно вывести из общих фактов, касающихся функциональных последовательностей и критерия Коши для равномерной сходимости. Но там надо внимательно следить за условиями в формулировках, и я напишу "автономное" доказательство.

Прежде всего, понятно, что для функций вида $%e^{i\lambda x}$% предел существует: он находится в явном виде, и получается $%0$% или $%1$%. Значит, предел существует и для линейных комбинаций таких функций (они вроде бы носят название почти периодических). Теперь пусть у нас имеются функции $%f$%, $%g$% из замыкания, которые с любой точностью могут быть приближены п.п. по норме равномерной сходимости. Надо доказать существование предела для них.

Допустим, мы знаем, что $%||f-f_n|| < \frac1n$% и $%||g-g_n|| < \frac1n$%, где функции $%f_n$%, $%g_n$% являются п.п. Будучи линейными комбинациями ограниченных функций, они ограничены на всей прямой, то есть $%||f_n||\le C_1$% и $%||g_n||\le C_2$% для некоторых констант. Отсюда $%||f||\le C_1+1$% и $%||g||\le C_2+1$%. Сравниваем функции $%f(x)\overline{g(x)}$% и $%f_n(x)\overline{g_n(x)}$% стандартным способом: $%|f(x)\overline{g(x)}-f_n(x)\overline{g_n(x)}|$% равно $%|f(x)(\overline{g(x)}-\overline{g_n(x)}))+(f(x)-f_n(x))\overline{g_n(x)}|\le||f||/n+||g_n||/n\le C/n$%, где $%C=C_1+C_2+1$%.

Введём величины $%a(T)=\frac1{2T}\int\limits_{-T}^Tf(x)\overline{g(x)}\,dx$% и $%b_n(T)=\frac1{2T}\int\limits_{-T}^Tf_n(x)\overline{g_n(x)}\,dx$%. Нам известно, что при каждом $%n$% существует предел $%\beta_n=\lim\limits_{T\to\infty}b_n(T)$%, и надо доказать существование предела $%\lim\limits_{T\to\infty}a(T)$%. Из неравенств, доказанных выше, следует, что $%|a(T)-b_n(T)|\le C/n$% при любом $%T$% и любом $%n$%.

Проверим, что последовательность $%\beta_n$% является фундаментальной. Отсюда будет следовать, что она имеет предел $%\beta$%, и далее надо будет проверить, что именно к нему стремится $%a(T)$% при $%T\to\infty$%.

Пусть $%\varepsilon > 0$%. Выберем $%N > 6C/\varepsilon$%, и пусть $%m,n\ge N$%. Тогда при любом $%T$% выполнены неравенства $%|a(T)-b_m(T)| < \varepsilon/6$% и $%|a(T)-b_n(T)| < \varepsilon/6$%, откуда $%|b_m(T)-b_n(T)| < \varepsilon/3$%. Далее, при достаточно большом $%T=T(m,n)$% будут выполняться неравенства $%|\beta_m-b_m(T)| < \varepsilon/3$% и $%|\beta_n-b_n(T)| < \varepsilon/3$%. Следовательно, при всех $%m,n\ge N$% окажется, что $%|\beta_m-\beta_n|\le|\beta_m-b_m(T)|+|b_m(T)-b_n(T)|+|b_n(T)-\beta_n| < \varepsilon$%.

Итак, по критерию Коши существует предел $%\beta=\lim\limits_{n\to\infty}\beta_n$%. Проверим теперь, что для любого $%\varepsilon > 0$% найдётся такое $%T_0 > 0$%, что при $%T > T_0$% будет верно неравенство $%|a(T)-\beta| < \varepsilon$%.

Пусть $%|\beta_n-\beta| < \varepsilon/3$% при $%n\ge n_0$%. Среди таких $%n$% выберем какое-нибудь, для которого $%n > 3C/\varepsilon$%. Тогда окажется, что $%|a(T)-b_n(T)|\le C/n < \varepsilon/3$%. Наконец, для данного $%n$% найдём такое $%T_0 > 0$%, что $%|b_n(T)-\beta_n| < \varepsilon/3$% при $%T > T_0$%. Из этого будет следовать, что для достаточно больших $%T$% и указанного значения $%n$% имеет место неравенство $%|a(T)-\beta|\le|a(T)-b_n(T)|+|b_n(T)-\beta_n|+|\beta_n-\beta| < \varepsilon$%.

ссылка

отвечен 14 Сен '14 20:44

Спасибо за столь подробный ответ.

(14 Сен '14 21:35) MathTrbl

Я мог бы написать и покороче, ограничившись указаниями на идею доказательства -- что и как надо применить. Но мне самому захотелось написать аккуратный текст, чтобы не ошибиться в каких-то деталях.

(14 Сен '14 21:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×576
×317
×95

задан
13 Сен '14 9:33

показан
344 раза

обновлен
14 Сен '14 21:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru