Здравствуйте!

Объясните, пожалуйста, как решить 4 примера, используя знания о понятии предела последовательностей и признаки существования предела:
Первое: $$ \lim_{n\to\infty }\frac{a^n}{n!} = 0$$ Второе: $$ \lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{a} = 1$$ Третье: $$ \lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{n} = 1$$ Четвертое: $$ \lim_{n\to\infty }\frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = 0$$

Спасибо.

Обновление

Задания, в которых требуется определить значения, я решаю хорошо. Как доказывать, не понимаю.

задан 13 Сен '14 17:01

изменен 13 Сен '14 19:24

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@ВладиславМСК, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(13 Сен '14 18:37) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
1

Для решения первой и последней задачи достаточно доказать, что факториалы растут очень быстро. На этот счёт существуют достаточно точные оценки, но здесь достаточно грубого приближения. Ясно, что в произведении чисел от $%1$% до $%n$% сомножителей из второй половины произведения не меньше $%n/2$%, и каждый из них больше $%n/2$%. Отсюда вытекает, что $$n! >\left(\frac{n}2\right)^{n/2}=\sqrt{\frac{n}2}^{\,n}.$$

Применяя это неравенство к первой задаче, видим, что $%\left|\frac{a^n}{n!}\right|\le\left(|a|\sqrt{\frac2n}\right)^n$%, где величина, возводимая в $%n$%-ю степень, стремится к нулю. Тогда $%n$%-я степень тем более стремится к нулю, откуда всё следует.

В последней из задач получается, что $%\sqrt[n]{n!} > \sqrt{\frac{n}2}\to+\infty$%, и обратная величина стремится к нулю.

Второй пример сводится к третьему. Правда, в условии должно быть $%a > 0$% -- в противном случае предел может равняться нулю (при $%a=0$%). Случай $%0 < a < 1$% сводится к случаю числа $%\frac1a$% в силу теоремы о пределе частного. Поэтому можно считать, что $%a\ge1$%. При этом $%1\le\sqrt[n]a < \sqrt[n]n$% при достаточно больших $%n$%, и всё сводится к решению третьей задачи (с применением "леммы о двух милиционерах").

Итак, покажем, что $%\sqrt[n]n\to1$% при $%n\to\infty$%. Достаточно для любого $%\varepsilon > 0$% установить справедливость неравенства $%n < (1+\varepsilon)^n$% для достаточно больших $%n$%. Тогда нужный нам факт сразу следует из определения предела.

Это делается так: при раскрытии скобок в степени $%(1+\varepsilon)^n$% после приведения подобных членов возникают слагаемые $%1+n\varepsilon+\frac{n(n-1)}2\varepsilon^2$%, и какие-то ещё положительные слагаемые, которые можно не учитывать. (Это не что иное как ослабленная форма т.н. "бинома Ньютона".) Далее надо заметить, что возникла квадратичная функция от $%n$% с положительным коэффициентом при $%n^2$%. Такая функция всегда обгоняет линейную при достаточно больших $%n$% (это следует из свойств парабол как графиков квадратичных функций). Поэтому $%(1+\varepsilon)^n > n$% при $%n\gg1$%.

ссылка

отвечен 13 Сен '14 17:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,039

задан
13 Сен '14 17:01

показан
282 раза

обновлен
13 Сен '14 18:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru