Доказать методом математической индукции.

$%n! < \left ( \frac{n+1}{2} \right )^{n}, n>1$%

Нужно воспользоваться тем, что: $%\left ( \frac{n+2}{n+1} \right )^{n+1} = \left ( 1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+1} >2, n \geqslant 1$%

задан 13 Сен '14 21:24

изменен 13 Сен '14 21:24

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь в указании к решению уже фактически всё сказано. Надо только заметить, что самое последнее неравенство является следствием неравенства из этой задачи. Если положить $%x_1=\ldots=x_n=x\ge0$%, то получится $%(1+x)^n\ge1+nx$%. Из того же рассуждения следует, что при $%n\ge2$% и $%x > 0$% будет иметь место строгое неравенство $%(1+x)^n > 1+nx$%. Отсюда для $%x=\frac1n$% вытекает, что $%(1+\frac1n)^n > 2$% при $%n\ge2$%, то есть $%(1+\frac1{n+1})^{n+1} > 2$% при $%n\ge1$%, как и гласит указание.

Из него уже совсем легко вывести требуемый факт, рассуждая по схеме. В условии говорится про все натуральные $%n > 1$%; берём начальное значение $%n=2$%. Неравенство приобретает вид $%2 < \frac94$%; это верно.

Далее полагаем, что при каком-то $%n=k\ge2$% нами уже установлена истинность неравенства, то есть мы знаем, что $%k! < (\frac{k+1}2)^k$%, и этот факт можно использовать в доказательстве. А установить требуется истинность неравенства при следующем значении $%n=k+1$%, то есть надо доказать, что $%(k+1)! < (\frac{k+2}2)^{k+1}$%.

Воспользуемся тем, что $%(k+1)!=k!\cdot(k+1)$% и домножим на $%k+1$% то неравенство, истинность которого имеет место по нашему предположению. Получится $%(k+1)! < (k+1)\cdot(\frac{k+1}2)^k=\frac{(k+1)^{k+1}}{2^k}$%. Это то, что мы уже доказали. А надо доказать, что $%(k+1)! < \frac{(k+2)^{k+1}}{2^{k+1}}$%. Значит, если мы сумеем установить, что полученная нами верхняя оценка не хуже требуемой, то всё будет установлено. То есть проверке подлежит следующий факт: $%\frac{(k+1)^{k+1}}{2^k}\le\frac{(k+2)^{k+1}}{2^{k+1}}$%.

Домножая на $%2^{k+1}$% обе части, мы получаем равносильное неравенство $%2(k+1)^{k+1}\le(k+2)^{k+1}$%. Теперь делим обе части на $%(k+1)^{k+1}$%, и неравенство превращается в $%2\le(\frac{k+2}{k+1})^{k+1}=(1+\frac{1}{k+1})^{k+1}$%. А это нам известно из указания к задаче, то есть всё доказано.

ссылка

отвечен 13 Сен '14 22:50

А как Вы определили, что $%(k+1)!<\frac{(k+2)^{k+1}}{2^{k+1}}$% - верхняя оценка?

(14 Сен '14 18:38) ertgeg

@ertgeg: терминология здесь такая: если имеется неравенство вида $%a_k < b_k$%, то величина $%b_k$% называется верхней оценкой для $%a_k$%. В ходе доказательства требовалось доказать некое неравенство, которое возникало при подстановке $%n=k+1$% в условие задачи. Оно имело вид $%(k+1)! < (\frac{k+2}2)^{k+1}=\frac{(k+2)^{k+1}}{2^{k+1}}$%. А мы умели к этому временем доказывать неравенство $%(k+1)! < \frac{(k+1)^{k+1}}{2^{k}}$% для той же величины в левой части, но с другой верхней оценкой в правой части. Поэтому остаётся сравнить между собой две верхние оценки, что и было сделано.

(14 Сен '14 19:15) falcao

@ertgeg: добавлю ещё несколько слов для ясности. Допустим, мне надо доказать неравенство вида $%a_n < b_n$%. Я, пытаясь его доказать, прихожу к другому неравенству, $%a_n < c_n$%. После чего я ставлю себе такую промежуточную задачу: а давайте-как попытаемся доказать, что $%c_n\le b_n$%. Если это удастся сделать, то окажется, что $%a_n < c_n\le b_n$%, то есть будет $%a_n < b_n$%. Все такие вещи легче всего осознаются в терминах "дано" и "доказать".

Это важно, если Ваш вопрос касался логической части доказательства, но он мог касаться и вычислительно-алгебраической.

(14 Сен '14 19:21) falcao

Это индукционный шаг, который нужно доказать или опровергнуть, полагая, что предыдуший шаг верен. То есть вы доказываете, что $%(k + 1)! < {(\frac{{k + 2}}{2})^{k + 1}}$%, полагая, что $%k! < {(\frac{{k + 1}}{2})^k}$% верно. Далее, как @falcao написал, в бой идут оценки.

(14 Сен '14 19:31) void_pointer

Всё понятно, спасибо.

(14 Сен '14 19:38) ertgeg
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,021
×60

задан
13 Сен '14 21:24

показан
409 раз

обновлен
14 Сен '14 19:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru