|
n-сторонний кубик бросают n раз (независимо). Положим $%A_k$% - событие, что сторона $%k$% выпадает на $%k$%-й бросок - называется совпадением на $%k$%-й попытке, где $%k = 1,2,3,...,n$%. Тогда $%B_k$% - событие без совпадений. Найти нужно: $$\lim_{n\to \infty} (P(B_k))$$ задан 14 Сен '14 16:28 
Марина Фовн |
|
То событие, предел вероятности которого рассматривается, зависит не от $%k$%, а от $%n$%. Поэтому обозначение надо как-то подкорректировать. Так или иначе, тут ясно, что имеется в виду. Каждый исход есть последовательность вида $%x_1,\ldots,x_n$%, где $%x_i$% независимо друг от друга принимают значения от $%1$% до $%n$%. Таких исходов всего $%n^n$%. Нас интересуют исходы без совпадений, то есть такие, где $%x_i\ne i$% ни при каком $%i$%. Ясно, что тогда каждая из переменных принимает ровно $%n-1$% значение, а всего таких последовательностей $%(n-1)^n$%. При фиксированном $%n$% вероятность отсутствия совпадений равна $%(\frac{n-1}n)^n=(1-\frac1n)^n$%. Из второго замечательного предела сразу следует, что $%\lim\limits_{n\to\infty}(1-\frac1n)^n=\frac1e$%. отвечен 14 Сен '14 16:43 
falcao |
@Марина Фовн, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.