Случайный процесс $%X_t$% определен формулой $%X_t=min(Y,t)$%, $%t \geq 0$%, $%Y$% - c.в., функция распределения которой задано. Найти мат. ожидание и дисперсию $%DX_t$%, если:
1) с.в. $%Y$% имеет равномерное распределение на $%[0,a]$%;
2) с.в. $%Y$% имеет плотноcть распределения $%p(x) = 0$% при $%x \leq 0$% и $%p(x)= \frac{2а}{\pi (a^2+x^2)} $% при $% x > 0$%.

задан 14 Сен '14 22:38

изменен 15 Сен '14 16:30

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@Яська, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(15 Сен '14 15:38) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
0

1) Поскольку $%Y$% распределена на $%[0;a]$%, все величины $%X_t$% также будут распределены на $%[0;a]$%. Рассмотрим два случая.

Пусть $%t > a$%. Тогда $%X_t=Y$% -- р.р.с.в. на $%[0;a]$%. Матожидание и дисперсия в этом случае находятся по готовым формулам: $%MX_t=\frac{a}2$%, $%DX_t=\frac{a^2}{12}$%.

Пусть $%t\le a$%. Рассматривая отрезок $%[0;a]$% как вероятностное пространство, имеем график случайной величины $%X_t(\omega)$% как функции случайного события $%\omega\in[0;a]$%. Ясно, что $%X_t=\omega$% при $%\omega\le t$% и $%X_t=t$% при $%\omega > t$%.

Матожидание, по определению, равно среднему значению такой функции на вероятностном пространстве. Это площадь под графиком функции, делённая на длину отрезка, то есть $%\frac1a(\frac{t^2}2+t(a-t))$%. Тем самым, $%MX_t=t-\frac{t^2}{2a}$%.

Таким же точно способом находим среднее значение квадрата функции. График её состоит из части параболы $%\omega^2$% в пределах от $%0$% до $%t$%, а также графика постоянной функции, равной $%t^2$%, в пределах от $%t$% до $%a$%. Сумма площадей равна $%\frac{t^3}3+t^2(a-t)=at^2-\frac23t^3$%. После деления на $%a$% получается $%MX_t^2=t^2-\frac{2t^3}{3a}$%.

Осталось найти дисперсию по формуле $%DX_t=MX_t^2-(MX_t)^2=\frac{t^3}{3a}-\frac{t^4}{4a^2}$%.

2) Здесь вычисления оказываются достаточно сложными.

Найдём функцию распределения $%F(x)$% случайной величины $%X_t$%. Если $%x\ge t$%, то $%X_t\le t\le x$% с вероятностью $%1$%, то есть $%F(x)=1$% при $%x\ge t$%.

Пусть $%x < t$%. Тогда $%F(x)=P(X_t\le x)=P(Y\le x)=\frac{2a}{\pi}\int\limits_0^x\frac{dt}{t^2+a^2}=\frac2{\pi}\arctan\frac{x}a$%.

Для нахождения матожидания можно применить следующий общий приём. Функция распределения имеет разрыв в точке $%x=t$%, поэтому здесь нельзя перейти к плотности. Но можно соединить части графика вертикальной линией, которая делит полосу $%[0;\infty)\times[0;1]$% на две части. Геометрический смысл матожидания представляет собой не что иное как площадь той части полосы, которая находится над графиком. Её можно найти как разность площади прямоугольника $%[0;t]\times[0;1]$%, равной $%t$%, и площади под графиком в пределах от $%0$% до $%t$%, которая равна интегралу $%\frac2{\pi}\int\limits_0^t\arctan\frac{x}a\,dx$%. Вычисляя интеграл, имеем такой ответ для матожидания: $%MX_t=t-\frac{2t}{\pi}\arctan\frac{t}a+\frac{a}{\pi}\ln(1+(\frac{t}a)^2)$%.

Для нахождения дисперсии надо сначала найти $%MX_t^2$%. Функция распределения $%X_t^2$% легко выражается через функцию распределения $%X_t$%: она равна $%F(\sqrt{x})$%. Такая функция будет равна $%1$% при $%x\ge t^2$%, а при $%x < t^2$% она находится по формуле $%\frac2{\pi}\arctan\frac{\sqrt{x}}a$%.

Действуя по тому же принципу, что и выше, мы получаем, что матожидание $%X_t^2$% равно разности площади прямоугольника, равной $%t^2$%, и площади под графиком функции распределения, взятой в пределах от $%0$% до $%t^2$%, то есть $%MX_t^2=t^2-\frac2{\pi}\int\limits_0^{t^2}\arctan\frac{\sqrt{x}}a\,dx=t^2+\frac{2a}{\pi}t-\frac{2(t^2-a^2)}{\pi}\arctan\frac{t}a$%.

Дисперсия теперь выражается в виде $%DX_t=MX_t^2-(MX_t)^2$%, но выражение получается громоздкое, и в явном виде его выписывать я не буду.

ссылка

отвечен 15 Сен '14 0:31

изменен 15 Сен '14 5:23

А если бы Y имела экспоненциальное распределение с параметром а, то в качестве вероятностного пространства что брать?

(17 Сен '14 14:44) Яська

Там всё можно решить по аналогии с пунктом 2, где вероятностное пространство можно специально не описывать, а просто сосчитать площадь по тому же принципу.

Вообще-то можно доказать несложное утверждение, формулировки которого я нигде в литературе не встречал, а сам когда-то осознал этот факт, ещё будучи студентом. Формулировка такая: для любой случайной величины $%\xi$% на произвольном вероятностном пространстве можно явно указать функцию $%f$% на отрезке $%[0;1]$% такую, что $%f(\eta)$% имеет такое же распределение, что и $%\xi$%, где $%\eta$% равномерно распределена на $%[0;1]$%.

(17 Сен '14 14:55) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×11

задан
14 Сен '14 22:38

показан
309 раз

обновлен
17 Сен '14 14:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru