случайные-процессы - Случайный процесс

1) Поскольку $%Y$% распределена на $%[0;a]$%, все величины $%X_t$% также будут распределены на $%[0;a]$%. Рассмотрим два случая.

Пусть $%t > a$%. Тогда $%X_t=Y$% -- р.р.с.в. на $%[0;a]$%. Матожидание и дисперсия в этом случае находятся по готовым формулам: $%MX_t=\frac{a}2$%, $%DX_t=\frac{a^2}{12}$%.

Пусть $%t\le a$%. Рассматривая отрезок $%[0;a]$% как вероятностное пространство, имеем график случайной величины $%X_t(\omega)$% как функции случайного события $%\omega\in[0;a]$%. Ясно, что $%X_t=\omega$% при $%\omega\le t$% и $%X_t=t$% при $%\omega > t$%.

Матожидание, по определению, равно среднему значению такой функции на вероятностном пространстве. Это площадь под графиком функции, делённая на длину отрезка, то есть $%\frac1a(\frac{t^2}2+t(a-t))$%. Тем самым, $%MX_t=t-\frac{t^2}{2a}$%.

Таким же точно способом находим среднее значение квадрата функции. График её состоит из части параболы $%\omega^2$% в пределах от $%0$% до $%t$%, а также графика постоянной функции, равной $%t^2$%, в пределах от $%t$% до $%a$%. Сумма площадей равна $%\frac{t^3}3+t^2(a-t)=at^2-\frac23t^3$%. После деления на $%a$% получается $%MX_t^2=t^2-\frac{2t^3}{3a}$%.

Осталось найти дисперсию по формуле $%DX_t=MX_t^2-(MX_t)^2=\frac{t^3}{3a}-\frac{t^4}{4a^2}$%.

2) Здесь вычисления оказываются достаточно сложными.

Найдём функцию распределения $%F(x)$% случайной величины $%X_t$%. Если $%x\ge t$%, то $%X_t\le t\le x$% с вероятностью $%1$%, то есть $%F(x)=1$% при $%x\ge t$%.

Пусть $%x < t$%. Тогда $%F(x)=P(X_t\le x)=P(Y\le x)=\frac{2a}{\pi}\int\limits_0^x\frac{dt}{t^2+a^2}=\frac2{\pi}\arctan\frac{x}a$%.

Для нахождения матожидания можно применить следующий общий приём. Функция распределения имеет разрыв в точке $%x=t$%, поэтому здесь нельзя перейти к плотности. Но можно соединить части графика вертикальной линией, которая делит полосу $%[0;\infty)\times[0;1]$% на две части. Геометрический смысл матожидания представляет собой не что иное как площадь той части полосы, которая находится над графиком. Её можно найти как разность площади прямоугольника $%[0;t]\times[0;1]$%, равной $%t$%, и площади под графиком в пределах от $%0$% до $%t$%, которая равна интегралу $%\frac2{\pi}\int\limits_0^t\arctan\frac{x}a\,dx$%. Вычисляя интеграл, имеем такой ответ для матожидания: $%MX_t=t-\frac{2t}{\pi}\arctan\frac{t}a+\frac{a}{\pi}\ln(1+(\frac{t}a)^2)$%.

Для нахождения дисперсии надо сначала найти $%MX_t^2$%. Функция распределения $%X_t^2$% легко выражается через функцию распределения $%X_t$%: она равна $%F(\sqrt{x})$%. Такая функция будет равна $%1$% при $%x\ge t^2$%, а при $%x < t^2$% она находится по формуле $%\frac2{\pi}\arctan\frac{\sqrt{x}}a$%.

Действуя по тому же принципу, что и выше, мы получаем, что матожидание $%X_t^2$% равно разности площади прямоугольника, равной $%t^2$%, и площади под графиком функции распределения, взятой в пределах от $%0$% до $%t^2$%, то есть $%MX_t^2=t^2-\frac2{\pi}\int\limits_0^{t^2}\arctan\frac{\sqrt{x}}a\,dx=t^2+\frac{2a}{\pi}t-\frac{2(t^2-a^2)}{\pi}\arctan\frac{t}a$%.

Дисперсия теперь выражается в виде $%DX_t=MX_t^2-(MX_t)^2$%, но выражение получается громоздкое, и в явном виде его выписывать я не буду.