|
1. Найти обратную функцию и область ее определения, если исходная функция такова $%y=x^2-1,$% а) $% x \epsilon ( -\infty; -1/2)$% б) $%x \epsilon [ 1/2 ;+\infty; ) $% обратную функцию я нашел: а) $%y^{-1} = \sqrt{x+1}$% $%D=[1; +\infty)$% В ответе $%D = [ -3/4; + \infty) $% Почему? 2. $%y=sinx $%, $% x \epsilon ( \pi/ 2; 3\pi/2)$% В ответе $%y^{-1} = \pi - arcsin x$% Однако я думаю, что будет $%y^{-1}= - arcsin x$% 3. Как найти обратную функцию $%y=cos^2x$%, $% x \epsilon [\pi/2; \pi]$% задан 14 Сен '14 23:46 
Darksider |
|
1) В самом первом пункте, судя по всему, функция имела вид $%y=x^2-1$%. В обоих случаях а), б) множеством значений функции будет именно $%[-\frac34;+\infty)$%, и оно будет областью определения обратной функции. Это происходит потому, что при $%x\ge\frac12$% имеет место неравенство $%x^2\ge\frac14$%, то есть $%y=x^2-1\ge-\frac34$%. Все такие значения функция принимает. В пункте а) имеет место то же самое ввиду $%(-x)^2=x^2$%. Формулы для обратной функции для этих пунктов отличаются. В пункте б) $%x > 0$%, поэтому из уравнения $%x^2=y+1$% получается $%x=\sqrt{y+1}$%, и дальше стандартно меняем роли $%x$% и $%y$%, указывая ответ. Но в пункте а) у нас $%x < 0$%, поэтому корень надо брать со знаком минус: $%x=-\sqrt{y+1}$%. 2) Арксинус принимает значения из отрезка $%[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2]$%. Поэтому автоматически переходить к арксинусу, имея дело с числами, большими $%\frac{\pi}2$%, нельзя. Нужно применить сначала формулы приведения, чтобы синус остался тем же (или сменил знак), но выражение под синусом попало в нужный отрезок. Здесь для этой цели подходит тождество $%\sin x=\sin(\pi-x)$%. Здесь уже $%\pi-x\in(-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2)$%, поэтому можно перейти к арксинусу: $%\pi-x=\arcsin y$%, выразить $%x$%, поменяв переменные ролями. Будет то, что указано в ответе. 3) Косинус на отрезке $%[\frac{\pi}2;\pi]$% принимает неположительные значения. Поэтому $%\cos x=-\sqrt{y}$% из уравнения. Далее можно перейти к арккосинусу, так как он принимает значения из отрезка $%[0;\pi]$%, которому принадлежит $%x$%. Получится $%x=\arccos(-\sqrt{y})$%. Можно избавиться от минуса, заметив, что $%\arccos(-t)=\pi-\arccos t$%. После замены переменных, ответ примет форму $%y=\pi-\arccos\sqrt{x}$%. отвечен 15 Сен '14 0:19 
falcao @falcao, спасибо большое! =) __ @falcao, в первом задании почему мы рассматриваем, что х больше или равно 0, если промежутки по условию у нас в круглых скобках.
(15 Сен '14 0:28)
Darksider
Для вида функции это не имеет значения. Важно то, с каким знаком надо брать корень. Все числа хоть из $%[\frac12;+\infty)$%, хоть из $%(\frac12;+\infty)$% положительны, поэтому для них корень берём со знаком плюс. А в пункте а) -- со знаком минус. Скобки влияют не на это, а на множество значений (оно же -- область определения обратной функции). Поэтому для $%D$% одна из скобок должна быть круглой, если для $%x$% было так. Но тогда нет полного совпадения с ответом, то есть имеет смысл точнее проверить условие.
(15 Сен '14 0:50)
falcao
|