математический-анализ - Математический анализ

Надо доказать, что существует наибольшее целое число $%k$%, не превосходящее $%x$%. Это и будет целая часть: получится, что $%k\le x$%, а большее целое число $%k+1$% уже превосходит $%x$%, откуда $%k+1 > x$%, то есть $%k=[x] > x-1$%.

Теперь надо установить две вещи: прежде всего, это существование таких целых чисел $%k$%, для которых $%k\le x$%. Рассуждаем от противного: предполагаем, что $%k > x$% для всех целых $%k$%. Тогда $%-k < -x$% для всех целых $%k$%. В частности, число $%-x$% оказывается больше любого натурального числа, что противоречит свойству архимедовости системы действительных чисел.

Таким образом, множество $%M=\{k\in\mathbb Z\mid k\le x\}$% непусто. Далее надо показать, что в нём имеется наибольший элемент. Как уже говорилось выше, $%x$% не может быть больше любого натурального числа. Значит, существует $%n\in\mathbb N$% такое, что $%x\le n$%. Пусть также $%k_0\le x$% -- некоторое целое число. Оно существует в силу непустоты $%M$%. Тогда среди конечного множества целых чисел в пределах от $%k_0$% до $%n$% имеется наибольшее, которое не превосходит $%x$%. Ясно, что оно будет наибольшим элементом множества $%M$%.