Докaзать, что для любого $%х$% (принадлежащим $%R$%) существует $%[x]$%, где $%[x]$% это целая часть числа, удовлетворяющая неравенству: $%x-1<[x]\leq x$%.

задан 15 Сен '14 16:57

изменен 15 Сен '14 23:17

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@doomsday, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(15 Сен '14 23:18) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
0

Надо доказать, что существует наибольшее целое число $%k$%, не превосходящее $%x$%. Это и будет целая часть: получится, что $%k\le x$%, а большее целое число $%k+1$% уже превосходит $%x$%, откуда $%k+1 > x$%, то есть $%k=[x] > x-1$%.

Теперь надо установить две вещи: прежде всего, это существование таких целых чисел $%k$%, для которых $%k\le x$%. Рассуждаем от противного: предполагаем, что $%k > x$% для всех целых $%k$%. Тогда $%-k < -x$% для всех целых $%k$%. В частности, число $%-x$% оказывается больше любого натурального числа, что противоречит свойству архимедовости системы действительных чисел.

Таким образом, множество $%M=\{k\in\mathbb Z\mid k\le x\}$% непусто. Далее надо показать, что в нём имеется наибольший элемент. Как уже говорилось выше, $%x$% не может быть больше любого натурального числа. Значит, существует $%n\in\mathbb N$% такое, что $%x\le n$%. Пусть также $%k_0\le x$% -- некоторое целое число. Оно существует в силу непустоты $%M$%. Тогда среди конечного множества целых чисел в пределах от $%k_0$% до $%n$% имеется наибольшее, которое не превосходит $%x$%. Ясно, что оно будет наибольшим элементом множества $%M$%.

ссылка

отвечен 15 Сен '14 17:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,039

задан
15 Сен '14 16:57

показан
224 раза

обновлен
15 Сен '14 23:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru