|
В $%\triangle ABC$% $%\angle CAB $%= 60 градусам, а высота, проведенная из вершины $%A$%, равна радиусу описанной около $%\triangle ABC$% окружности. Найти наименьший угол $%\triangle ABC$% (в градусах). задан 15 Сен '14 23:18 
Vipz3 |
|
Будем использовать стандартные обозначения. По теореме косинусов $%a^2=b^2+c^2-bc$%. По теореме синусов $%a=2R\sin60^{\circ}=R\sqrt3$%. Следовательно, $%2S=ah=aR=a^2/\sqrt3$%. С другой стороны, $%2S=bc\sin60^{\circ}=bc\sqrt3/2$%. Приравнивая, имеем $%2a^2=3bc$%. Получается уравнение $%2b^2-5bc+2c^2=0$%, то есть $%(2b-c)(b-2c)=0$%. Без ограничения общности, $%b=2c$%, откуда $%a^2=3c^2$%, и $%a=c\sqrt3$%. Треугольник оказывается прямоугольным: $%b^2=a^2+c^2$%. Наименьший угол равен $%30^{\circ}$%. отвечен 16 Сен '14 2:50 
falcao |