геометрия - Как найти радиус сферы?

Пространственное касание окружностей подразумевает наличие единственной общей точки, а также общей касательной. Проведём для каждой точки касания соответствующую прямую. Тогда каждая окружность окажется вписана в треугольник, а всё вместе даст 4 грани тетраэдра.

Докажем, что он правильный. Для этого достаточно доказать, что все грани равносторонние, и можно ограничиться рассмотрением случая двух рёбер с общей вершиной. Пусть это $%AB$% и $%AC$%. Рассмотрим грани $%ABD$% и $%ACD$%, разгибая их на плоскость, где получаются два треугольника с общей стороной $%AD$%. В каждый треугольник вписана окружность, и они касаются стороны $%AD$% в одной и той же точке. Радиусы одинаковы, поэтому при осевой симметрии относительно $%AD$% одна окружность перейдёт в другую. Касательная $%AB$% перейдёт в $%AC$%, а $%DB$% в $%DC$%. Значит, $%B$% перейдёт в $%C$%, откуда $%AB=AC$%.

Это же можно сделать без использования симметрии, опираясь на признаки равенства треугольников. Но тогда рассуждать придётся дольше, вводя ряд вспомогательных обозначений.

Итак, тетраэдр правильный. Надо найти расстояние от его центра $%O$% до середины ребра. Все эти расстояния будут одинаковы, то есть точки лежат на одной сфере.

Расстояние от центра грани до вершины равно $%2r$%. Сторона основания в $%\sqrt3$% раз больше. Проведём высоту тетраэдра. Она будет катетом треугольника с гипотенузой $%2\sqrt3r$% (сторона), а второй катет равен $%2r$%. По теореме Пифагора, высота равна $%2r\sqrt2$%. Центр тетраэдра лежит на высоте и делит её в отношении $%3:1$%, считая от вершины (известный факт; его легко обосновать). Значит, расстояние от центра до грани равно $%\frac{\sqrt2}2r$%. Это катет ещё одного треугольника, в котором гипотенуза по длине равна расстоянию от центра до середины ребра. А другой катет -- расстояние от центра грани до середины ребра; это $%r$%. Значит, гипотенуза равна $%\sqrt{\frac32}r=\frac{\sqrt6}2r$%. Это ответ.