комплексные-числа - Тригонометрическая форма комплексного числа

В виде обычного многочлена (типа $%7x^4-x^2+3x-5$%) такая функция не представима. Здесь, видимо, имеется в виду тригонометрический многочлен. Судя по характеру задания, надо представить $%\cos3x$% в виде многочлена от $%\cos x$%.

Сделать это можно обычным способом, выражая $%\cos(2x+x)$% через функции двойного угла и далее упрощая выражение. Но если привлекать тригонометрическую формулу комплексного числа, то можно применить формулу Муавра: $%\cos3x+i\sin3x=(\cos x+i\sin x)^3$%.

Далее раскрываем скобки по формуле куба суммы, которая верна и для комплексных чисел. Правая часть оказывается равна $%\cos^3x+3i\cos^2x\sin x-3\cos x\sin^2x-i\sin^3x$%.

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем $%\cos3x=\cos^3x-3\cos x\sin^2x$%, что далее представляется в виде многочлена от косинуса: $%\cos3x=\cos^3x-3\cos x(1-\cos^2x)=4\cos^3x-3\cos x$%.

Аналогично можно поступить с синусом тройного угла: он представляется многочленом от $%\sin x$%.