Представьте в виде многочлена функцию $%cos(3x)$%.

задан 16 Сен '14 17:34

изменен 16 Сен '14 22:31

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

В виде обычного многочлена (типа $%7x^4-x^2+3x-5$%) такая функция не представима. Здесь, видимо, имеется в виду тригонометрический многочлен. Судя по характеру задания, надо представить $%\cos3x$% в виде многочлена от $%\cos x$%.

Сделать это можно обычным способом, выражая $%\cos(2x+x)$% через функции двойного угла и далее упрощая выражение. Но если привлекать тригонометрическую формулу комплексного числа, то можно применить формулу Муавра: $%\cos3x+i\sin3x=(\cos x+i\sin x)^3$%.

Далее раскрываем скобки по формуле куба суммы, которая верна и для комплексных чисел. Правая часть оказывается равна $%\cos^3x+3i\cos^2x\sin x-3\cos x\sin^2x-i\sin^3x$%.

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем $%\cos3x=\cos^3x-3\cos x\sin^2x$%, что далее представляется в виде многочлена от косинуса: $%\cos3x=\cos^3x-3\cos x(1-\cos^2x)=4\cos^3x-3\cos x$%.

Аналогично можно поступить с синусом тройного угла: он представляется многочленом от $%\sin x$%.

ссылка

отвечен 16 Сен '14 18:16

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×380

задан
16 Сен '14 17:34

показан
506 раз

обновлен
16 Сен '14 18:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru